東京工業大学 2016年度理系数学第5問解答・解説

問題

次のように媒介変数表示された $x y$ 平面上の曲線を $C$ とする：

{x = 3 cos t - cos 3 t, y = 3 sin t - sin 3 t

ただし $0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ である。

(1) $\frac{d x}{d t}$ および $\frac{d y}{d t}$ を計算し， $C$ の概形を図示せよ。

(2) $C$ と $x$ 軸と $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

出典：東京工業大学 2016年度前期理系第5問

方針

三倍角の公式で $x, y$ とその導関数を整理する。 $d y / d t ≧ 0$ から曲線は下から上へ進み， $d x / d t$ の符号が $t = π /4$ で変わることから概形を決める。面積は $y$ が単調に増えることを利用して $\int x d y$ で計算する。

解答

(1)

三倍角の公式を用いると

x = 3 cos t - cos 3 t = 6 cos t - 4 cos^{3} t, y = 3 sin t - sin 3 t = 4 sin^{3} t

である。したがって

\frac{d x}{d t} = - 3 sin t + 3 sin 3 t = 6 sin t cos 2 t, \frac{d y}{d t} = 3 cos t - 3 cos 3 t = 12 sin^{2} t cos t

である。

$0 ≦ t ≦ π /2$ では $d y / d t ≧ 0$ である。また $d x / d t$ は $0 < t < π /4$ で正， $t = π /4$ で $0$ ， $π /4 < t < π /2$ で負である。主な点は

t = 0 : (2, 0), t = \frac{π}{4} : (22, 2), t = \frac{π}{2} : (0, 4)

である。さらに $d x / d t \neq = 0$ のところで $d y / d x = tan 2 t$ である。端点では $t \to 0 +$ で $d y / d x \to 0$ ， $t \to π /2 -$ でも $d y / d x \to 0$ となるので，曲線は $(2, 0)$ から水平に出て右上へ進み， $(22, 2)$ で垂直接線をもち，その後左上へ進んで $(0, 4)$ に水平に入る。この情報に従って概形を描けばよい。

(2)

(1)より $y$ は $0$ から $4$ まで単調に増える。したがって求める面積は

\int_{0}^{π /2} x \frac{d y}{d t} d t

である。ここで $x = 2 cos t (1 + 2 sin^{2} t)$ ， $d y / d t = 12 sin^{2} t cos t$ であるから

S = \int_{0}^{π /2} 24 sin^{2} t cos^{2} t (1 + 2 sin^{2} t) d t = 24 (\int_{0}^{π /2} sin^{2} t cos^{2} t d t + 2 \int_{0}^{π /2} sin^{4} t cos^{2} t d t) .

半角の公式により

\int_{0}^{π /2} sin^{2} t cos^{2} t d t = \frac{π}{16}, \int_{0}^{π /2} sin^{4} t cos^{2} t d t = \frac{π}{32}

である。よって

S = 24 (\frac{π}{16} + 2 \cdot \frac{π}{32}) = 3 π

である。

東京工業大学 2016年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2016年度
理系数学第5問