問題
水平な平面 の上に半径 の球 と半径 の球 が乗っており， と は外接している。
(1) が と接する点をそれぞれ とする。線分 の長さを求めよ。
(2) の上に乗っており， と の両方に外接している球すべてを考える。それらの球と の接点は，1つの円の上または1つの直線の上にあることを示せ。
出典：東京工業大学 2016年度 前期 理系 第3問
方針
平面 を 平面として座標を置く。球の中心は接点の真上に半径だけ上がった点である。(1)は2中心間の距離が であることから水平距離を求める。(2)は可変球の半径を ，接点を とし，2つの外接条件から を消去して接点の満たす方程式を得る。
解答
(1)
平面 を とし，， とおく。 の中心はそれぞれ ， である。2つの球は外接しているから，中心間の距離は である。よってであり， となる。したがって である。
(2)
(1)の座標をそのまま用い， とする。 の上に乗る可変球の半径を ，その接点を ，中心を とする。 と外接する条件はであるから， である。同様に と外接する条件からを得る。
この2式から を消去するとである。すなわちとなる。
のとき，この式は ，すなわち となる。これは平面 上の1つの直線である。
のとき，上の式は の係数が でない二次方程式であり，平方完成すれば
となる。これは平面 上の1つの円である。よって，求める接点は1つの円の上または1つの直線の上にある。