問題
を一辺の長さ6の正三角形とする。サイコロを3回振り，出た目を順に とする。出た目に応じて，点 をそれぞれ線分 上に
をみたすように取る。
(1) が正三角形になる確率を求めよ。
(2) 点 を互いに線分で結んでできる図形を ，点 を互いに線分で結んでできる図形を ，点 を互いに線分で結んでできる図形を とする。 のうち，ちょうど2つが正三角形になる確率を求めよ。
(3) の面積を とし， のとりうる値の最小値を とする。 の値および となる確率を求めよ。
方針
正三角形の一辺を複素平面上の に置き， とする。(1)は 回転で が に移る条件を係数比較する。(2)は各隅の小三角形が正三角形になる条件を辺の長さから読む。(3)は の面積を から3つの隅の三角形の面積を引いて表し，整数 の範囲で最小値を調べる。
解答
(1)
複素平面上に ，， とおく。ただし であり， である。このとき
である。
が正三角形で，向きが と同じなら である。実際に係数を比較すると
であるから， が必要十分である。反対向きの場合は であるが，このとき の係数比較から となり不可能である。
したがって が正三角形になるのは の6通りである。全事象は 通りなので，求める確率は である。
(2)
は頂点 における角が であり，， であるから， が正三角形である条件は である。同様に， が正三角形である条件は ， が正三角形である条件は である。
例えば だけが正三角形である場合を数える。， より である。ここで も成り立つのは のときだけである。 は を取りうるので， だけが正三角形である場合は 通りである。他の2組も同様に 通りずつであり，これらは互いに重ならない。
よって，ちょうど2つが正三角形になる場合は 通りであり，求める確率は である。
(3)
の面積は である。隅にできる3つの三角形の面積はそれぞれ，， であるから
となる。ただしである。
固定した に対してである。 のときは で最小となり，その値は で，等号は のときである。 のときは である。 のときは で最小となる。このとき であり， なら固定した に対して で最小値 ， なら値は である。
したがって の最小値は である。等号が成り立つのはの3通りである。ゆえに ，また となる確率は である。