問題
を正の定数とし，放物線 を とする。
(1) 点 が 上を動くとき， と点 の距離の最小値を求めよ。
(2) を中心とする円 を とする。 が 上を動き，点 が 上を動くとき， と の距離の最小値を求めよ。
出典：東京工業大学 2016年度 前期 理系 第1問
方針
とおいて， を からのずれで平方完成する。(2)では，円 の半径が であることから，固定した に対する の最小値は である。 の取りうる値が最小値から無限大まで連続に動くことを確認し，半径との大小で場合分けする。
解答
(1)
とおく。このときである。これを からのずれで整理するととなる。右辺の第3項は常に 以上であり， のとき になる。したがって の最小値は である。
(2)
円 の半径は である。固定した に対して， 上の点 との距離の最小値は， と中心 の距離を とすると である。
(1)より の最小値は である。また を大きくすると はいくらでも大きくなり， は について連続である。よって の取りうる値は 以上のすべての値である。
したがって なら，ある について となり，その点 は円 上にもあるので最小値は である。一方， なら最小値は である。
は と同値であるから，求める最小値は
である。