東京工業大学 2015年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面上を運動する点 $P$ の時刻 $t$ $(t > 0)$ における座標 $(x, y)$ が

x = t^{2} cos t, y = t^{2} sin t

で表されている。原点を $O$ とし，時刻 $t$ における $P$ の速度ベクトルを $v$ とする。

(1) $O P$ と $v$ のなす角を $θ (t)$ とするとき，極限値 $lim_{t \to \infty} θ (t)$ を求めよ。

(2) $v$ が $y$ 軸に平行になるような $t$ $(t > 0)$ のうち，最も小さいものを $t_{1}$ ，次に小さいものを $t_{2}$ とする。このとき，不等式 $t_{2} - t_{1} < π$ を示せ。

出典：東京工業大学 2015年度前期日程理系第4問

方針

速度ベクトルを成分で微分し， $O P$ との内積から $cos θ (t)$ を直接求める。(2)では $v$ が $y$ 軸に平行であることを $x^{'} (t) = 0$ として， $tan t = \frac{2}{t}$ に帰着する。正の解は $(k π, k π + \frac{π}{2})$ に1つずつあることを単調性で示し， $t_{1} + π$ を第2の区間に入れて符号を比べる。

解答

(1)

$v = (2 t cos t - t^{2} sin t, 2 t sin t + t^{2} cos t)$ である。また $O P = (t^{2} cos t, t^{2} sin t)$ であるから，

O P \cdot v = t^{2} cos t (2 t cos t - t^{2} sin t) + t^{2} sin t (2 t sin t + t^{2} cos t) = 2 t^{3}

である。さらに $∣ O P ∣ = t^{2}$ ，

∣ v ∣ = (2 t cos t - t^{2} sin t)^{2} + (2 t sin t + t^{2} cos t)^{2} = t t^{2} + 4

なので，

cos θ (t) = \frac{2 t ^{3}}{t ^{2} \cdot t t ^{2} + 4} = \frac{2}{t ^{2} + 4}

である。 $0 < θ (t) < \frac{π}{2}$ であり， $t \to \infty$ のとき $cos θ (t) \to 0$ だから，

t \to \infty lim θ (t) = \frac{π}{2}

である。

(2)

$v$ が $y$ 軸に平行であることは，その $x$ 成分が $0$ であることと同値である。すなわち $2 t cos t - t^{2} sin t = 0$ である。 $t > 0$ であり， $cos t = 0$ のとき左辺は $0$ にならないので，これは $tan t = \frac{2}{t}$ と同値である。

区間 $I_{0} = (0, \frac{π}{2})$ ， $I_{1} = (π, \frac{3 π}{2})$ で $g (t) = tan t - \frac{2}{t}$ とおく。各区間で $g^{'} (t) = \frac{1}{c o s ^{2} t} + \frac{2}{t ^{2}} > 0$ であるから， $g$ は単調に増加する。 $I_{0}$ では $t \to 0 + 0$ のとき $g (t) \to - \infty$ ， $t \to \frac{π}{2} - 0$ のとき $g (t) \to \infty$ であるから，解はただ一つあり，それが $t_{1}$ である。また $(\frac{π}{2}, π)$ では $tan t < 0 < \frac{2}{t}$ なので解はない。 $I_{1}$ でも $t \to π + 0$ のとき $g (t) < 0$ ， $t \to \frac{3 π}{2} - 0$ のとき $g (t) \to \infty$ であるから，解はただ一つあり，それが $t_{2}$ である。

ここで $t_{1} + π \in I_{1}$ であり， $tan (t_{1} + π) = tan t_{1} = \frac{2}{t _{1}}$ だから $g (t_{1} + π) = \frac{2}{t _{1}} - \frac{2}{t _{1} + π} > 0$ である。一方 $I_{1}$ の左端の近くでは $g (t) < 0$ で， $g$ は $I_{1}$ で単調増加する。したがって $I_{1}$ の解 $t_{2}$ は $t_{1} + π$ より小さい。ゆえに $t_{2} - t_{1} < π$ である。

東京工業大学 2015年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2015年度
理系数学第4問