東京工業大学 2015年度理系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 5, a_{n + 1} = \frac{4 a _{n} - 9}{a _{n} - 2} (n = 1, 2, 3, \dots)

で定める。また数列 ${b_{n}}$ を

b_{n} = \frac{a _{1} + 2 a _{2} + \dots + n a _{n}}{1 + 2 + \dots + n} (n = 1, 2, 3, \dots)

と定める。

(1) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

(2) すべての $n$ に対して，不等式 $b_{n} ≦ 3 + \frac{4}{n + 1}$ が成り立つことを示せ。

(3) 極限値 $lim_{n \to \infty} b_{n}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2015年度前期日程理系第1問

方針

漸化式の分数一次変換は重解の不動点 $3$ を持つので， $a_{n} - 3$ の逆数を取って一次の漸化式に直す。(2)では得られた $a_{n} = 3 + \frac{2}{2 n - 1}$ を $b_{n}$ に代入し， $\frac{k}{2 k - 1} ≦ 1$ を各項に用いて評価する。(3)は $a_{n} > 3$ から $b_{n} > 3$ を押さえ，(2)の上からの評価とはさみうちで極限を決める。

解答

(1)

まず $a_{1} = 5 \neq = 2$ であり，後で得る式からすべての $n$ で $a_{n}$ は定義されることも確認できる。漸化式から

a_{n + 1} - 3 = \frac{4 a _{n} - 9}{a _{n} - 2} - 3 = \frac{a _{n} - 3}{a _{n} - 2}

である。よって $a_{n} \neq = 3$ のもとで $c_{n} = \frac{1}{a _{n} - 3}$ とおくと，

c_{n + 1} = \frac{a _{n} - 2}{a _{n} - 3} = 1 + \frac{1}{a _{n} - 3} = c_{n} + 1

となる。 $c_{1} = \frac{1}{2}$ であるから $c_{n} = n - \frac{1}{2} = \frac{2 n - 1}{2}$ 。したがって $a_{n} = 3 + \frac{2}{2 n - 1}$ である。この式では $a_{n} > 3$ なので，確かに漸化式の分母 $a_{n} - 2$ は $0$ にならない。

(2)

(1)より

b_{n} = \frac{\sum _{k = 1}^{n} k ( 3 + \frac{2}{2 k - 1} )}{\sum _{k = 1}^{n} k} = 3 + \frac{2 \sum _{k = 1}^{n} \frac{k}{2 k - 1}}{\frac{n ( n + 1 )}{2}} = 3 + \frac{4}{n ( n + 1 )} k = 1 \sum n \frac{k}{2 k - 1}

である。 $k ≧ 1$ のとき $k ≦ 2 k - 1$ であるから $\frac{k}{2 k - 1} ≦ 1$ 。よって $\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2 k - 1} ≦ n$ であり， $b_{n} ≦ 3 + \frac{4}{n ( n + 1 )} \cdot n = 3 + \frac{4}{n + 1}$ が成り立つ。

(3)

(1)より $a_{k} > 3$ であるから，正の重み $k$ による平均である $b_{n}$ も $b_{n} > 3$ をみたす。一方 (2) より $b_{n} ≦ 3 + \frac{4}{n + 1}$ である。したがって $3 < b_{n} ≦ 3 + \frac{4}{n + 1}$ であり， $n \to \infty$ とすると，はさみうちにより $lim_{n \to \infty} b_{n} = 3$ である。

東京工業大学 2015年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2015年度
理系数学第1問