問題
四面体 において，， とする。頂点 から平面 に垂線を下ろし，平面 との交点を とする。頂点 から平面 に垂線を下ろし，平面 との交点を とする。
(1) ，， とし，， と表す。このとき， および を の式で表せ。
(2) 四面体 の体積 を の式で表せ。また， が変化するときの の最大値を求めよ。
出典：東京工業大学 2015年度 前期日程 理系 第2問
方針
辺の長さから内積 ， を先に求める。 は平面 上の点なので係数和が ，かつ が ， に垂直であることを使う。 は平面 上にあり， が に垂直であることから求める。体積は底面 と高さ で表し，最後は の二次式の最大値を調べる。
解答
(1)
辺の長さから
である。
まず について考える。 は平面 上にあるから である。また は平面 に垂直なので，
である。この2式の差をとると，対称性から が得られる。そこで とおくと であり，第一の垂直条件は
と同値である。これを整理すると となる。よって
である。なお三角形 が存在するので であり，分母は ではない。
次に について考える。 は平面 に垂直であるから，
である。すなわち
である。したがって であり，
を得る。
(2)
底面 は1辺の長さが の正三角形であるから，その面積は である。また (1) より であるから
ここで であるから，
である。したがって
である。
四面体が実際に存在する範囲では である。これは と同値であり， はこの範囲に含まれる。 とおくと
であるから，この値は ，すなわち のとき最大値 をとる。よって の最大値はである。