東京工業大学 2015年度理系数学第3問解答・解説

問題

$a > 0$ とする。曲線 $y = e^{- x^{2}}$ と $x$ 軸， $y$ 軸，および直線 $x = a$ で囲まれた図形を， $y$ 軸のまわりに1回転してできる回転体を $A$ とする。

(1) $A$ の体積 $V$ を求めよ。

(2) 点 $(t, 0)$ $(- a ≦ t ≦ a)$ を通り $x$ 軸と垂直な平面による $A$ の切り口の面積を $S (t)$ とするとき，不等式

S (t) ≦ \int_{- a}^{a} e^{- (s^{2} + t^{2})} d s

を示せ。

(3) 不等式

π (1 - e^{- a^{2}}) ≦ \int_{- a}^{a} e^{- x^{2}} d x

を示せ。

出典：東京工業大学 2015年度前期日程理系第3問

方針

回転体を $Y$ 軸まわりの立体としてとらえる。(1)は $Y$ 軸に垂直な断面で，低い高さでは半径 $a$ ，高い高さでは半径 $- lo g Y$ の円になることから体積を求める。(2)は平面 $X = t$ による切り口を $Z = s$ で積分表示し，積分区間が $[- a, a]$ の一部であることから評価する。(3)は切り口面積を $t$ で積分して体積に戻し，(2)の評価を積分して右辺を1変数積分の平方に分解する。

解答

(1)

回転後の立体を，回転軸を $Y$ 軸とする空間で考える。高さ $Y = y$ の断面は， $0 ≦ y ≦ e^{- a^{2}}$ では半径 $a$ の円であり， $e^{- a^{2}} ≦ y ≦ 1$ では $y = e^{- x^{2}}$ から $x = - lo g y$ なので半径 $- lo g y$ の円である。したがって

V = π a^{2} e^{- a^{2}} + π \int_{e^{- a^{2}}}^{1} (- lo g y) d y = π a^{2} e^{- a^{2}} + π [- y lo g y + y]_{e^{- a^{2}}}^{1} = π a^{2} e^{- a^{2}} + π {1 - a^{2} e^{- a^{2}} - e^{- a^{2}}} = π (1 - e^{- a^{2}})

である。

(2)

空間の座標を $(X, Y, Z)$ とし，回転軸を $Y$ 軸とする。立体 $A$ は $X^{2} + Z^{2} ≦ a^{2}, 0 ≦ Y ≦ e^{- (X^{2} + Z^{2})}$ で表される。平面 $X = t$ による切り口では， $Z = s$ とおくと $- a^{2} - t^{2} ≦ s ≦ a^{2} - t^{2}$ であり，高さは $e^{- (s^{2} + t^{2})}$ である。よって

S (t) = \int_{- a^{2} - t^{2}}^{a^{2} - t^{2}} e^{- (s^{2} + t^{2})} d s

である。積分される関数は正であり， $- a^{2} - t^{2} ≦ s ≦ a^{2} - t^{2}$ は $- a ≦ s ≦ a$ に含まれるから，

S (t) ≦ \int_{- a}^{a} e^{- (s^{2} + t^{2})} d s

が成り立つ。

(3)

切り口面積を $t$ について積分すると体積になるので，

V = \int_{- a}^{a} S (t) d t

である。(1)，(2)より

π (1 - e^{- a^{2}}) = V ≦ \int_{- a}^{a} (\int_{- a}^{a} e^{- (s^{2} + t^{2})} d s) d t = (\int_{- a}^{a} e^{- x^{2}} d x)^{2}

である。右辺の積分は正であるから，両辺の正の平方根をとって

π (1 - e^{- a^{2}}) ≦ \int_{- a}^{a} e^{- x^{2}} d x

を得る。

東京工業大学 2015年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2015年度
理系数学第3問