東京工業大学 2011年度理系数学第4問解答・解説

問題

平面上に一辺の長さが1の正方形 $D$ および $D$ と交わる直線があるとする。この直線を軸に $D$ を回転して得られる回転体について以下の問いに答えよ。

(1) $D$ と同じ平面上の直線 $l$ は $D$ のどの辺にも平行でないものとする。軸とする直線は $l$ と平行なものの中で考えるとき，回転体の体積を最大にする直線は $D$ と唯1点で交わることを示せ。

(2) $D$ と交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ。

出典：東京工業大学 2011年度前期理系第4問

方針

(1)では軸に平行な座標 $s$ と垂直な符号付き距離 $u$ を取り，平行な軸を $u = c$ とする。 $s$ を固定した切片 $α (s), β (s)$ の回転断面積を $c$ の関数として書き，それが下に凸であることから体積も端点で最大になることを示す。(2)では最大軸を支持直線に絞り，支持直線に平行な帯による一変数の円筒殻積分で体積を計算し，支持直線の法線方向を最大化する。

解答

(1)

直線 $l$ に平行な座標を $s$ ，それに垂直な符号付き距離を $u$ とする。正方形 $D$ における $u$ の最小値と最大値をそれぞれ $m, M$ とすれば， $l$ と平行で $D$ と交わる軸は $u = c$ ， $m ≦ c ≦ M$ と表される。

$s$ を1つ固定し，直線 $s =$ 一定と $D$ の交わりが空でないとき，その切片を $α ≦ u ≦ β$ と書く。この切片を軸 $u = c$ のまわりに回したときの断面積を $A_{s} (c)$ とすると，円板または円環の面積から

A_{s} (c) = ⎩ ⎨ ⎧ π (β - α) (α + β - 2 c) π (β - c)^{2} π (c - α)^{2} π (β - α) (2 c - α - β) (c ≦ α), (α ≦ c ≦ (α + β) /2), ((α + β) /2 ≦ c ≦ β), (β ≦ c)

である。各区間での傾きは左から右へ進むにつれて増えるだけなので， $A_{s} (c)$ は $c$ について下に凸である。

回転体の体積 $V (c)$ は，この断面積 $A_{s} (c)$ を $s$ について積分したものである。したがって $V (c)$ も $c$ について下に凸であり，閉区間 $[m, M]$ での最大値は端点 $c = m$ または $c = M$ でとれる。これらの軸は $D$ の支持直線である。さらに $l$ は $D$ のどの辺にも平行でないから，その方向の支持直線は正方形の1つの頂点だけで $D$ と交わる。よって，体積を最大にする直線は $D$ と唯1点で交わる。

(2)

(1)より，方向を固定した最大は支持直線で調べればよい。辺に平行な方向も同じ計算に含めるため，支持直線を軸とし，軸から正方形へ向かう単位法線の成分を，正方形の2つの辺の方向に関して $p, q$ とおく。ここで $p ≧ 0$ ， $q ≧ 0$ ， $p^{2} + q^{2} = 1$ である。

支持直線上の接点を原点とし，正方形の辺方向の座標を $0 ≦ X ≦ 1$ ， $0 ≦ Y ≦ 1$ とする。この点から軸までの距離は $pX + q Y$ である。軸に平行な細い帯で正方形を分けると，距離 $y$ にある帯は回転により周長 $2 π y$ の円筒を作るから，体積は $2 π$ に「距離の平均」を掛けたものになる。固定した $X$ で $Y$ を $0$ から $1$ まで動かすと距離の平均は $pX + q /2$ であり，さらに $X$ を $0$ から $1$ まで平均すると，正方形全体での平均距離は $(p + q) /2$ である。正方形の面積は1だから，この支持直線を軸とする体積は $V = π (p + q)$ となる。

よって

V = π (p + q) ≦ π 2 (p^{2} + q^{2}) = 2 π

である。等号は $p = q = 1/ 2$ のとき，例えば正方形を $0 ≦ X, Y ≦ 1$ として軸を $X + Y = 0$ とする支持直線に取れば成り立つ。したがって求める最大値は $2 π$ である.

東京工業大学 2011年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2011年度
理系数学第4問