東京工業大学 2011年度理系数学第3問解答・解説

問題

定数 $k$ は $k > 1$ をみたすとする。 $x y$ 平面上の点 $A (1, 0)$ を通り $x$ 軸に垂直な直線の第1象限に含まれる部分を，2点 $X$ ， $Y$ が $A Y = k A X$ をみたしながら動いている。原点 $O (0, 0)$ を中心とする半径1の円と線分 $O X$ ， $O Y$ が交わる点をそれぞれ $P$ ， $Q$ とするとき， $△ O P Q$ の面積の最大値を $k$ を用いて表せ。

出典：東京工業大学 2011年度前期理系第3問

方針

$A X = a$ とおいて $X = (1, a)$ ， $Y = (1, k a)$ と表す。 $P, Q$ はそれぞれ $O X, O Y$ 方向の単位ベクトルで与えられるので，面積は座標による三角形の面積公式から求まる。最後は $u = a^{2}$ とおき， $\frac{1}{u} + k^{2} u ≧ 2 k$ を用いて最大値を出す。

解答

$A X = a$ とおくと， $a > 0$ であり， $A Y = k a$ だから $X = (1, a)$ ， $Y = (1, k a)$ と表せる。したがって，半径1の円上の点 $P, Q$ は

P = \frac{( 1 , a )}{1 + a ^{2}}, Q = \frac{( 1 , k a )}{1 + k ^{2} a ^{2}}

である。

よって $△ O P Q$ の面積 $T$ は

T = \frac{1}{2} \cdot \frac{∣ k a - a ∣}{( 1 + a ^{2} ) ( 1 + k ^{2} a ^{2} )} = \frac{( k - 1 ) a}{2 ( 1 + a ^{2} ) ( 1 + k ^{2} a ^{2} )}

である。ここで $u = a^{2}$ とおくと $T^{2} = \frac{( k - 1 ) ^{2}}{4} \cdot \frac{u}{( 1 + u ) ( 1 + k ^{2} u )}$ である。また

\frac{( 1 + u ) ( 1 + k ^{2} u )}{u} = \frac{1}{u} + k^{2} u + 1 + k^{2} ≧ 2 k + 1 + k^{2} = (k + 1)^{2}

であり，等号は $\frac{1}{u} = k^{2} u$ ，すなわち $u = \frac{1}{k}$ のとき成り立つ。したがって $T^{2} ≦ \frac{( k - 1 ) ^{2}}{4 ( k + 1 ) ^{2}}$ であり，この等号は $a = \frac{1}{k}$ で実現する。ゆえに面積の最大値は $\frac{k - 1}{2 ( k + 1 )}$ である。

東京工業大学 2011年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

東京工業大学 2011年度
理系数学第3問