東京工業大学 2011年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。 $x y$ 平面上で行列

(1 - n - n (n + 1) 1 n + 2)

の表す1次変換を $f_{n}$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 原点 $O (0, 0)$ を通る直線で，その直線上のすべての点が $f_{n}$ により同じ直線上に移されるものが2本あることを示し，この2直線の方程式を求めよ。

(2) (1)で得られた2直線と曲線 $y = x^{2}$ によって囲まれる図形の面積 $S_{n}$ を求めよ。

(3) $n = 1 \sum \infty \frac{1}{S _{n} - \frac{1}{6}}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2011年度前期理系第1問

方針

(1)は原点を通る直線を $y = m x$ とおき，変換後の点が同じ傾きの直線上に残る条件を $m$ の二次方程式にする。垂直な直線 $x = 0$ が条件をみたさないことも確認する。(2)は放物線と2直線の交点を使い，外側の直線と放物線で囲む面積の差として求める。(3)は $S_{n} - \frac{1}{6}$ が $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ になることから部分分数分解して和をとる。

解答

(1)

まず直線 $x = 0$ は条件をみたさない。実際，点 $(0, y)$ は $(y, (n + 2) y)$ に移るので， $y \neq = 0$ なら像は直線 $x = 0$ 上にない。

そこで直線を $y = m x$ とおく。この直線上の点 $(x, m x)$ は $((1 - n + m) x, {- n (n + 1) + (n + 2) m} x)$ に移る。これが再び $y = m x$ 上にあるための条件は $- n (n + 1) + (n + 2) m = m (1 - n + m)$ である。整理すると $m^{2} - (2 n + 1) m + n (n + 1) = 0$ となる。この判別式は $1$ であり，解は $m = n, n + 1$ である。したがって求める2直線は $y = n x$ ， $y = (n + 1) x$ である。

(2)

直線 $y = m x$ と放物線 $y = x^{2}$ は $x = 0, m$ で交わる。したがって，(1)の2直線と放物線で囲まれる部分の面積は， $y = (n + 1) x$ と放物線で囲まれる面積から， $y = n x$ と放物線で囲まれる面積を引けばよい。よって

S_{n} = \int_{0}^{n + 1} {(n + 1) x - x^{2}} d x - \int_{0}^{n} (n x - x^{2}) d x = \frac{( n + 1 ) ^{3} - n ^{3}}{6}

である。したがって $S_{n} = \frac{3 n ^{2} + 3 n + 1}{6}$ である。

(3)

(2)より $S_{n} - \frac{1}{6} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。したがって

n = 1 \sum \infty \frac{1}{S _{n} - \frac{1}{6}} = n = 1 \sum \infty \frac{2}{n ( n + 1 )} = n = 1 \sum \infty 2 (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 2

である。

東京工業大学 2011年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2011年度
理系数学第1問