東京工業大学 2011年度理系数学第2問解答・解説

問題

実数 $x$ に対して

f (x) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} ∣ cos t - x sin 2 t ∣ d t

とおく。

(1) 関数 $f (x)$ の最小値を求めよ。

(2) 定積分 $\int_{0}^{1} f (x) d x$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2011年度前期理系第2問

方針

$0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ では $cos t ≧ 0$ なので， $u = sin t$ と置いて $f (x) = \int_{0}^{1} ∣1 - 2 xu ∣ d u$ に直す。絶対値の中身の符号が変わるかどうかで $x ≦ \frac{1}{2}$ と $x > \frac{1}{2}$ に分け，(1)では後半の式を微分して最小値を求める。(2)は得られた区分表示を $0 ≦ x ≦ 1$ で積分する。

解答

(1)

$0 ≦ t ≦ \frac{π}{2}$ では $cos t ≧ 0$ であり， $sin 2 t = 2 sin t cos t$ である。 $u = sin t$ とおくと $d u = cos t d t$ だから

f (x) = \int_{0}^{1} ∣1 - 2 xu ∣ d u

である。

$x ≦ \frac{1}{2}$ のとき， $0 ≦ u ≦ 1$ で $1 - 2 xu ≧ 0$ であるから $f (x) = \int_{0}^{1} (1 - 2 xu) d u = 1 - x$ である。 $x > \frac{1}{2}$ のとき，符号が変わる点は $u = \frac{1}{2 x}$ であり，

f (x) = \int_{0}^{1/ (2 x)} (1 - 2 xu) d u + \int_{1/ (2 x)}^{1} (2 xu - 1) d u = x - 1 + \frac{1}{2 x}

である。

$x ≦ \frac{1}{2}$ では $f (x) = 1 - x$ なので最小は端点 $x = \frac{1}{2}$ での $\frac{1}{2}$ である。 $x > \frac{1}{2}$ では $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{2 x ^{2}}$ であるから，最小は $x = \frac{1}{2}$ で起こる。このとき $f (x) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2/ ( 2 )} = 2 - 1$ である。 $2 - 1 < \frac{1}{2}$ より，求める最小値は $2 - 1$ である。

(2)

(1)の区分表示より

\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1/2} (1 - x) d x + \int_{1/2}^{1} (x - 1 + \frac{1}{2 x}) d x

である。右辺を計算すると

[x - \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{1/2} + [\frac{x ^{2}}{2} - x + \frac{1}{2} lo g x]_{1/2}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} lo g 2

である。

東京工業大学 2011年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2011年度
理系数学第2問