東京工業大学 2011年度
AO・理系数学 AO第4問

解答

正9角形の外接円の中心を $O$ とする。正9角形の各辺の中点方向から角度 $\delta$ だけずれた半径がその辺と交わる点までの距離は$\frac{\cos 20^{\circ }}{\cos \delta }$である。

$n=3$ の例として，正9角形の頂点を3つおきに取る。この正三角形の外接円半径は1なので，1辺の長さは $2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$ である。

$n=9$ の例として，もとの正9角形をそのまま取る。1辺の長さは $2\sin 20^{\circ }$ である。

$n=6$ の例として，中心 $O$ を共有し，頂点の方向が各辺の中点方向から交互に $10^{\circ }$ だけずれるように，中心角 $60^{\circ }$ ごとに6点を取る。各頂点は正9角形の辺上にあり，外接円半径は$R=\frac{\cos 20^{\circ }}{\cos 10^{\circ }}$である。よって1辺の長さは $R=\frac{\cos 20^{\circ }}{\cos 10^{\circ }}$ である。

$n=18$ の例として，各辺の中点方向から $10^{\circ }$ ずつ両側にずれた方向に2点ずつ取る。これら18点は中心角 $20^{\circ }$ ごとに並ぶので正18角形をなし，外接円半径は同じく $R=\frac{\cos 20^{\circ }}{\cos 10^{\circ }}$ である。したがって1辺の長さは$2R\sin 10^{\circ }=\frac{2\cos 20^{\circ }\sin 10^{\circ }}{\cos 10^{\circ }}$である。

最後に $n=4$ の例を作る。正9角形の頂点の一つを真上に置き，外接円の中心を原点とする。このとき右上の辺の一つは$y=-\sqrt{3}x+2\cos 20^{\circ }$上にあり，右下の辺の一つは$y=\tan 40^{\circ }\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\frac{1}{2}$上にある。ここで

とおくと，$(a,h+a)$ は右上の辺の直線上にあり，$(a,h-a)$ は右下の辺の直線上にある。またこの $a$ は $\cos 50^{\circ }<a<\cos 10^{\circ }$ かつ $\cos 70^{\circ }<a<\cos 30^{\circ }$ をみたす。実際，分母が正であることに注意して分母を掛け，加法定理で整理すれば確認できる。したがって，これら2点はそれぞれ対応する辺分上にある。左右対称性により，4点$(a,h+a),(-a,h+a),(-a,h-a),(a,h-a)$は正9角形の周上にあり，この4点は正方形をなす。したがって $n=4$ の例があり，その1辺の長さは$2a=\frac{4\cos 20^{\circ }+\sqrt{3}\tan 40^{\circ }+1}{2+\sqrt{3}+\tan 40^{\circ }}$である。

以上より，例えば $n=3,4,6,9,18$ が条件をみたす。