問題
が の倍数となるような自然数 を全て求めよ。
出典：東京工業大学 2011年度 AO AO・理系 AO第1問
方針
まず ，素数， を直接判定する。合成数 については，任意の素因数 に対し， の中に含まれる の個数が 以上であることを示す。 として の場合と純粋な素数べきの場合に分ける。
解答
のときは であり， の倍数である。
次に が素数のとき， に含まれる素因数 は1個だけであるから， では割り切れない。よって素数 は条件をみたさない。また のとき， は で割り切れない。
以下， が合成数であるとする。 の素因数分解において が現れるとし， とおく。 のとき， から までの整数のうち の倍数は少なくとも 個ある。したがって に含まれる の個数は少なくともである。， よりこの値は 以上である。
残るのは ，すなわち の場合である。合成数なので である。 はすでに除いた である。その他の場合，が成り立つので，やはり に含まれる の個数は 以上である。
したがって，任意の素因数 について は で割り切れる。よって合成数 はすべて条件をみたす。以上より，求める自然数は および 以上の合成数である。