東京工業大学 2011年度 AO・理系数学 AO第2問解答・解説

問題

正の数 $a$ ， $b$ ， $c$ が三角形の3辺の長さとなるように動くとき，

\frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{ab + b c + c a}

の取り得る値の範囲を求めよ。

出典：東京工業大学 2011年度 AO AO・理系 AO第2問

方針

三角形の辺である条件を， $a = y + z$ ， $b = z + x$ ， $c = x + y$ $(x, y, z > 0)$ と置き換える。この置換では三角形の3つの余りの長さを直接表せる。あとは $A = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ， $B = x y + y z + z x$ とおき，式を $2 (A + B) / (A + 3 B)$ に整理して範囲を出す。

解答

三角形の3辺であるから，正の数 $x, y, z$ を用いて $a = y + z$ ， $b = z + x$ ， $c = x + y$ と表せる。実際， $x = \frac{b + c - a}{2}$ ， $y = \frac{c + a - b}{2}$ ， $z = \frac{a + b - c}{2}$ とすれば三角形の不等式からすべて正である。

$A = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ ， $B = x y + y z + z x$ とおく。このとき

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 (A + B), ab + b c + c a = A + 3 B

である。したがって与えられた式は $R = \frac{2 ( A + B )}{A + 3 B}$ である。

ここで $A - B = \frac{1}{2} {(x - y)^{2} + (y - z)^{2} + (z - x)^{2}} ≧ 0$ であるから $R ≧ 1$ であり，等号は $x = y = z$ ，すなわち $a = b = c$ のとき成り立つ。また $B > 0$ より $2 - R = \frac{4 B}{A + 3 B} > 0$ であるから $R < 2$ である。

最後に， $[1, 2)$ の値が実際にすべて得られることを確認する。例えば $x = y = 1$ ， $z = s$ とし， $s ≧ 1$ を動かすと， $R$ は $s$ の連続関数で， $s = 1$ で $R = 1$ ， $s \to \infty$ で $R \to 2$ となる。したがって中間の値もすべて得られる。よって取り得る値の範囲は $1 ≦ R < 2$ である。

東京工業大学 2011年度AO・理系数学 AO第2問

問題

方針

解答

東京工業大学 2011年度
AO・理系数学 AO第2問