東京工業大学 2011年度
AO・理系数学 AO第3問

解答

$f$ の最高次係数を $a$ とする。$f(x^2+1)$ と $f(x{)}^2+1$ の最高次の係数を比較すると $a=a^2$ である。$f$ は $n$ 次多項式なので $a\ne 0$ であり，したがって $a=1$ である。

左辺 $f(x^2+1)$ は $x$ の偶関数であるから，右辺 $f(x{)}^2+1$ も偶関数である。したがって $f(-x{)}^2=f(x{)}^2$ が成り立つ。よって多項式として $f(-x)=f(x)$ または $f(-x)=-f(x)$ である。すなわち $f$ は偶関数または奇関数である。

$f$ が偶関数であるとする。このときある多項式 $g$ により $f(x)=g(x^2+1)$ と表せる。これをもとの式へ代入すると，$g$ も$g(x^2+1)=g(x{)}^2+1$をみたす。したがって，偶関数の場合には同じ形の問題で次数を半分にできる。

この操作を繰り返すと，最終的に奇数次数の多項式 $h$ が同じ式をみたす。$h$ は奇関数であり，$x=0$ を代入すると $h(1)=h(0{)}^2+1=1$ である。したがって $h(-1)=-1$ である。$H(x)=h(x)-x$ とおくと，

である。よって $H(a)=0$ なら $H(a^2+1)=0$ である。$H(-1)=0$ から，$-1,2,5,26,\dots$ はすべて $H(x)$ の根であり，これらは無限に多い。したがって $H$ は零多項式であり，$h(x)=x$ である。

以上より，もとの $f$ の次数は $1$ に何回か $2$ を掛けたもの，すなわち $2^m$ $(m=0,1,2,\dots )$ に限られる。

逆に，$g(x)=x^2+1$ とし，$f$ を $g$ の $m$ 回の反復で定めると，$f$ の次数は $2^m$ であり，$f(x^2+1)=f(g(x))=g(f(x))=f(x{)}^2+1$ が成り立つ。したがって求める自然数は$n=2^m(m=0,1,2,\dots )$である。