問題
を正の定数とする。原点を とする座標平面上に定点 と， と異なる動点 をとる。次の条件
を満たす からなる領域を とする。 を図示せよ。
出典：東京工業大学 2010年度 前期日程 理系 第4問
方針
半直線上の点 を とおくと，条件は のすべてについての不等式になる。距離の比を二乗して整理すると， について一次式の非負条件に落ちる。端点 の条件から，右半平面と円の外部という図形条件に直す。
解答
比が定義される点 について条件を調べる。もし となる場合は が定義されないので，以下では の点で不等式を判定する。得られる条件は近くの の点に対する必要十分条件であり，孤立した はこの条件で扱える。 とし， をと表す。条件 は と同値である。またである。
であるから， はと同値である。両辺を二乗して整理すると，となる。したがって のすべてでが必要十分である。
左辺は の一次式である。 を に近づけると が必要なので である。また を代入してすなわちが必要である。逆に かつ なら， と に対応する値がともに非負であり，一次式なので の全体で非負である。
よって求める領域はである。すなわちであるから， は右半平面 のうち，中心 ，半径 の円の外部および円周上の部分である。ただし題意より は除く。