東京工業大学 2010年度理系数学第2問解答・解説

問題

$a$ を正の整数とする。正の実数 $x$ についての方程式

x = [\frac{1}{2} (x + \frac{a}{x})]

が解を持たないような $a$ を小さい順に並べたものを $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ とする。ここに $[u]$ は $u$ 以下の最大の整数を表す。

(1) $a = 7, 8, 9$ の各々について上の方程式の解があるかどうかを判定し，ある場合は解 $x$ を求めよ。

(2) $a_{1}, a_{2}$ を求めよ。

(3) $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{a _{n}}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2010年度前期日程理系第2問

方針

右辺は整数なので，解 $x$ は正の整数 $m$ である。床関数の条件を $m ≦ \frac{1}{2} (m + \frac{a}{m}) < m + 1$ と直し， $a$ がどの整数区間に入るかで解の有無を判定する。解を持たない $a$ は隣り合う区間の間に一つずつ現れるので， $a_{n} = n (n + 2)$ を得て，最後は部分分数分解で和を求める。

解答

(1)

右辺は整数であるから，解 $x$ が存在すれば $x$ は正の整数である。そこで $x = m$ とおく。ただし $m$ は正の整数である。このとき方程式は $m ≦ \frac{1}{2} (m + \frac{a}{m}) < m + 1$ と同値である。これを整理すると $m^{2} ≦ a < m^{2} + 2 m$ である。 $a$ は整数なので，ある正の整数 $m$ に対して $m^{2} ≦ a ≦ m^{2} + 2 m - 1$ となることが解の存在条件である。

$a = 7$ は $m = 2$ で $4 ≦ 7 ≦ 7$ を満たすので，解は $x = 2$ である。 $a = 8$ はどの区間にも入らないので解を持たない。 $a = 9$ は $m = 3$ で $9 ≦ 9 ≦ 14$ を満たすので，解は $x = 3$ である。

(2)

正の整数 $m$ に対して，解を持つ $a$ の区間は $m^{2}, m^{2} + 1, \dots, m^{2} + 2 m - 1$ である。この区間の次には $(m + 1)^{2}$ から始まる区間が続くので，間に抜ける整数は $(m + 1)^{2} - 1$ だけである。したがって解を持たない正の整数は $3, 8, 15, 24, \dots$ であり， $a_{1} = 3, a_{2} = 8$ である。

(3)

(2)より $a_{n} = (n + 1)^{2} - 1 = n (n + 2)$ である。よって

\frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})

であるから，

n = 1 \sum N \frac{1}{a _{n}} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N + 1} - \frac{1}{N + 2})

となる。 $N \to \infty$ として，

n = 1 \sum \infty \frac{1}{a _{n}} = \frac{3}{4}

である。

東京工業大学 2010年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2010年度
理系数学第2問