東京工業大学 2010年度理系数学第1問解答・解説

問題

$f (x) = 1 - cos x - x sin x$ とする。

(1) $0 < x < π$ において， $f (x) = 0$ は唯一の解を持つことを示せ。

(2) $J = \int_{0}^{π} ∣ f (x) ∣ d x$ とする。(1)の唯一の解を $α$ とするとき， $J$ を $sin α$ の式で表せ。

(3) (2)で定義された $J$ と $2$ の大小を比較せよ。

出典：東京工業大学 2010年度前期日程理系第1問

方針

(1)は $f^{'} (x) = - x cos x$ から， $(0, \frac{π}{2})$ と $(\frac{π}{2}, π)$ に分けて増減を調べる。(2)は $f$ の符号が $α$ で変わることと $\int_{0}^{π} f (x) d x = 0$ を使い，根の条件 $1 - cos α - α sin α = 0$ から $α$ を消去する。(3)は $J = 2 sin α$ に帰着し， $α < \frac{3 π}{4}$ を $f (\frac{3 π}{4}) > 0$ で示す。

解答

(1)

$f^{'} (x) = sin x - (sin x + x cos x) = - x cos x$ である。したがって $0 < x < \frac{π}{2}$ では $f^{'} (x) < 0$ ， $\frac{π}{2} < x < π$ では $f^{'} (x) > 0$ である。

$f (0) = 0$ であるから， $0 < x ≦ \frac{π}{2}$ では $f (x) < 0$ である。また $f (\frac{π}{2}) = 1 - \frac{π}{2} < 0$ ， $f (π) = 2 > 0$ であり， $f$ は $(\frac{π}{2}, π)$ で増加する。よって中間値の定理と単調性により， $f (x) = 0$ は $(0, π)$ にただ一つの解を持つ。

(2)

(1)より $f (x) < 0$ は $0 < x < α$ ， $f (x) > 0$ は $α < x < π$ で成り立つ。原始関数の一つは $F (x) = x + x cos x - 2 sin x$ であり， $F (0) = F (π) = 0$ である。したがって

J = - \int_{0}^{α} f (x) d x + \int_{α}^{π} f (x) d x = - 2 F (α)

となる。

$f (α) = 0$ より $cos α = 1 - α sin α$ である。さらに $sin α > 0$ であり， $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ に代入すると $(α^{2} + 1) sin α = 2 α$ を得る。よって $α^{2} sin α = 2 α - sin α$ である。これを $J = - 2 (α + α cos α - 2 sin α)$ に用いると，

J = - 2 (2 α - α^{2} sin α - 2 sin α) = 2 sin α

である。

(3)

$\frac{π}{2} < α < π$ である。 $(\frac{π}{2}, π)$ で $f$ は増加するので， $f (\frac{3 π}{4}) > 0$ を示せば $α < \frac{3 π}{4}$ である。

ここで $f (\frac{3 π}{4}) = 1 - \frac{2}{2} (\frac{3 π}{4} - 1)$ である。 $π < \frac{22}{7}$ ， $2 < \frac{10}{7}$ より，

\frac{2}{2} (\frac{3 π}{4} - 1) < \frac{5}{7} \cdot \frac{19}{14} = \frac{95}{98} < 1

であるから $f (\frac{3 π}{4}) > 0$ である。したがって $α < \frac{3 π}{4}$ であり， $sin α > \frac{2}{2}$ となる。ゆえに $J = 2 sin α > 2$ である。

東京工業大学 2010年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2010年度
理系数学第1問