東京工業大学 2010年度理系数学第3問解答・解説

問題

1から $n$ までの数字がもれなく一つずつ書かれた $n$ 枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く。このとき，引いたカードの数字のうち小さい方が3の倍数である確率を $p (n)$ とする。

(1) $p (8)$ を求めよ。

(2) 正の整数 $k$ に対し， $p (3 k + 2)$ を $k$ で表せ。

出典：東京工業大学 2010年度前期日程理系第3問

2枚のカードを小さい順に $(m, j)$ と見れば，小さい方 $m$ が3の倍数である場合を直接数えればよい。(1)は $m = 3, 6$ の二つを数え，(2)は $m = 3 i$ とおいて $i = 1, 2, \dots, k$ について大きい方の選び方を和にする。

8枚から2枚を引く出方は $28$ 通りで，すべて同様に確からしい。小さい方が3の倍数になるには，小さい方が $3$ または $6$ であればよい。

小さい方が $3$ のとき，大きい方は $4, 5, 6, 7, 8$ の5通りである。小さい方が $6$ のとき，大きい方は $7, 8$ の2通りである。したがって有利な出方は $5 + 2 = 7$ 通りであり，

p (8) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}

である。

$n = 3 k + 2$ とする。小さい方が3の倍数であるとき，その数は $3, 6, \dots, 3 k$ のいずれかである。小さい方が $3 i$ のとき，大きい方は $3 i + 1$ から $3 k + 2$ までの $3 k + 2 - 3 i$ 通りである。よって有利な出方の総数は

i = 1 \sum k (3 k + 2 - 3 i) = j = 0 \sum k - 1 (3 j + 2) = \frac{k ( 3 k + 1 )}{2}

である。

一方，2枚の引き方の総数は $\frac{( 3 k + 2 ) ( 3 k + 1 )}{2}$ 通りである。したがって

p (3 k + 2) = \frac{k ( 3 k + 1 )}{( 3 k + 2 ) ( 3 k + 1 )} = \frac{k}{3 k + 2}

である。