東京工業大学 2010年度 AO・理系数学第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内の3つの部分集合

A = {(x, y, z) ∣ ∣ x ∣ ≦ 1, y^{2} + z^{2} ≦ 1},

B = {(x, y, z) ∣ ∣ y ∣ ≦ 1, x^{2} + z^{2} ≦ 1},

C = {(x, y, z) ∣ ∣ z ∣ ≦ 1, x^{2} + y^{2} ≦ 1}

の和集合 $A \cup B \cup C$ の体積を求めよ。

出典：東京工業大学 2010年度 AO入試 AO・理系第4問

方針

包除原理で和集合の体積を，1本の円柱，2本の円柱の共通部分，3本の円柱の共通部分の体積に分ける。2本の共通部分は固定した $z$ に対する正方形の断面で積分する。3本の共通部分は第1象限の対称性を使い， $0 ≦ y ≦ x$ と $0 ≦ x ≦ y$ に分けることで一変数積分に落とす。

解答

3つの集合はいずれも半径1，高さ2の円柱である。したがって

V (A) = V (B) = V (C) = 2 π

である。

次に $A \cap B$ を考える。固定した $z$ に対して，条件は $x^{2} ≦ 1 - z^{2}, y^{2} ≦ 1 - z^{2}$ となるので，断面積は $4 (1 - z^{2})$ である。よって

V (A \cap B) = \int_{- 1}^{1} 4 (1 - z^{2}) d z = \frac{16}{3}

である。対称性により， $V (B \cap C) = V (C \cap A) = \frac{16}{3}$ である。

最後に $A \cap B \cap C$ の体積を求める。第1八分体 $x, y, z ≧ 0$ に含まれる部分の体積を $W$ とする。条件は $x^{2} + y^{2} ≦ 1, x^{2} + z^{2} ≦ 1, y^{2} + z^{2} ≦ 1$ である。第1八分体で $0 ≦ y ≦ x$ の部分では， $z$ の上限は $1 - x^{2}$ である。よって対称性から

W = 2 {\int_{0}^{1/ 2} x 1 - x^{2} d x + \int_{1/ 2}^{1} (1 - x^{2}) d x}

である。ここで

\int_{0}^{1/ 2} x 1 - x^{2} d x = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 2},

\int_{1/ 2}^{1} (1 - x^{2}) d x = \frac{2}{3} - \frac{5}{6 2}

であるから， $W = 2 - 2$ となる。したがって

V (A \cap B \cap C) = 8 W = 16 - 82

である。

包除原理より，

V (A \cup B \cup C) = 3 \cdot 2 π - 3 \cdot \frac{16}{3} + (16 - 82) = 6 π - 82

である。

東京工業大学 2010年度AO・理系数学 第4問

問題

方針

解答

東京工業大学 2010年度
AO・理系数学第4問