東京工業大学 2010年度 AO・理系数学第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面の $n$ 個の点

(cos \frac{2 π k}{n}, sin \frac{2 π k}{n}) (k = 1, 2, \dots, n)

を頂点とする正 $n$ 角形の周および内部を $D_{n}$ とする。このとき， $D_{3}, D_{4}, D_{5}, D_{6}, \dots$ の共通部分の面積を求めよ。

出典：東京工業大学 2010年度 AO入試 AO・理系第1問

方針

まず $D_{3} \cap D_{4}$ を具体的に求める。 $D_{4}$ は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≦ 1$ の正方形であり， $D_{3}$ との共通部分は五角形になる。次に，その五角形の各頂点が $n ≧ 5$ のすべての $D_{n}$ に含まれることを，原点からの距離と各辺の原点からの距離 $cos \frac{π}{n}$ で示す。最後に五角形の面積を座標で計算する。

解答

各 $D_{n}$ は単位円に内接する正 $n$ 角形であり，各辺の原点からの距離は $cos \frac{π}{n}$ である。

まず $D_{4}$ は頂点 $(1, 0), (0, 1), (- 1, 0), (0, - 1)$ をもつ正方形であるから， $∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≦ 1$ で表される。 $D_{3}$ は頂点

(1, 0), (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}), (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

をもつ正三角形である。これらを重ねると， $D_{3} \cap D_{4}$ は次の5点を頂点とする五角形である。

(1, 0), (3 - 2, 3 - 1), (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}), (3 - 2, 1 - 3) .

この五角形を $K$ とする。 $K$ の頂点のうち $(1, 0)$ はすべての $D_{n}$ の頂点である。他の4頂点については，原点からの距離がいずれも $\frac{4}{5}$ より小さい。実際，

(3 - 2)^{2} + (3 - 1)^{2} = 11 - 63 < \frac{16}{25}, (- \frac{1}{2})^{2} + (\pm \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2} < \frac{16}{25}

である。また $cos \frac{π}{5} = \frac{1 + 5}{4} > \frac{4}{5}$ であり， $n ≧ 5$ では $cos \frac{π}{n} ≧ cos \frac{π}{5}$ である。したがって，これらの4頂点は $D_{n}$ のすべての辺を定める半平面の内側にある。 $D_{n}$ は凸図形なので，五角形 $K$ 全体がすべての $D_{n} (n ≧ 5)$ に含まれる。

よって $D_{3} \cap D_{4} \cap D_{5} \cap \dots = K$ である。頂点を反時計回りに並べて面積を計算すると， $\frac{1}{2} {2 (3 - 1) + (23 - 3) + \frac{1}{2}} = \frac{8 3 - 9}{4}$ である。したがって求める面積は $\frac{8 3 - 9}{4}$ である。

東京工業大学 2010年度AO・理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 2010年度
AO・理系数学第1問