問題
の5次式 のグラフ が平行な2直線 のそれぞれと2点で接しているような の実例を1つみつけよ。また，その例について， と の交点と2つの接点との3点により から切り取られる2つの線分の長さの比を求めよ。
出典：東京工業大学 2010年度 AO入試 AO・理系 第2問
方針
平行な2直線を水平線として作る。まず に2点で接するように， と置く。残り二つの臨界点で関数値が等しくなるように を選ぶと，もう一つの水平線 が得られる。最後に 上の3点の 座標から線分比を読む。
解答
とし，とおく。また とする。
は で起こり， はそれぞれ重解である。したがって は と で接し，さらに で交わる。
次にである。二次方程式 は，定数項が負で二次の係数が正なので，異なる2つの実数解をもつ。その2つの解を とする。この二次式で を割ると，余りは定数になる。したがって
であり，かつ である。
よってとすれば， は と平行であり， は と の2点で接する。これで求める実例が得られた。
上の3点の 座標はであるから，切り取られる2つの線分の長さは と である。したがってその比はである。