東京工業大学 2010年度 AO・理系数学第3問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ 上の右から原点に近づく点列 $A_{n} (a_{n}, a_{n}^{2}) (n = 1, 2, \dots)$ と， $x$ 軸上の右から原点に近づく点列 $B_{n} (b_{n}, 0) (n = 0, 1, 2, \dots)$ があって， $△ A_{n} B_{n} B_{n - 1}$ はすべての $n = 1, 2, \dots$ に対し正三角形を成しており， $a_{1} = 1$ であるとき，

n = 1 \sum \infty a_{n}^{2}, n = 1 \sum \infty a_{n}^{3}

を求めよ。

出典：東京工業大学 2010年度 AO入試 AO・理系第3問

方針

正三角形の底辺が $x$ 軸上にあるので， $A_{n}$ の $x$ 座標は $B_{n - 1}, B_{n}$ の中点，高さは底辺の $\frac{3}{2}$ 倍である。この2式から $a_{n}^{2}$ と $a_{n}^{3}$ を $b_{n - 1} - b_{n}$ ， $b_{n - 1}^{2} - b_{n}^{2}$ で表し， $b_{n} \to 0$ を使って望みの和を望遠和にする。

解答

底辺 $B_{n} B_{n - 1}$ は $x$ 軸上にあり，点列は右から原点に近づくので $b_{n - 1} > b_{n} > 0$ である。正三角形の性質より，

a_{n} = \frac{b _{n - 1} + b _{n}}{2}, a_{n}^{2} = \frac{3}{2} (b_{n - 1} - b_{n})

である。

$a_{1} = 1$ だから，

1 = \frac{b _{0} + b _{1}}{2}, 1 = \frac{3}{2} (b_{0} - b_{1})

である。したがって $b_{0} = 1 + \frac{1}{3}$ である。また $B_{n}$ は原点に近づくので $b_{n} \to 0$ である。

まず

n = 1 \sum N a_{n}^{2} = \frac{3}{2} n = 1 \sum N (b_{n - 1} - b_{n}) = \frac{3}{2} (b_{0} - b_{N})

である。 $N \to \infty$ として

n = 1 \sum \infty a_{n}^{2} = \frac{3}{2} (1 + \frac{1}{3}) = \frac{3 + 1}{2}

である。

次に

a_{n}^{3} = a_{n} \cdot a_{n}^{2} = \frac{b _{n - 1} + b _{n}}{2} \cdot \frac{3}{2} (b_{n - 1} - b_{n}) = \frac{3}{4} (b_{n - 1}^{2} - b_{n}^{2})

である。よって

n = 1 \sum N a_{n}^{3} = \frac{3}{4} (b_{0}^{2} - b_{N}^{2})

であり， $N \to \infty$ として

n = 1 \sum \infty a_{n}^{3} = \frac{3}{4} (1 + \frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{3}

である。

東京工業大学 2010年度AO・理系数学 第3問

問題

方針

解答

東京工業大学 2010年度
AO・理系数学第3問