問題
空間の原点と点 を通る直線を とする。
(1) 上の点 を通り と垂直な平面が， 平面と交わってできる直線の方程式を求めよ。
(2) 不等式 の表す 平面内の領域を とする。 を軸として を回転させて得られる回転体の体積を求めよ。
出典：東京工業大学 2009年度 前期日程 理系 第4問
方針
(1)では の方向ベクトル を法線ベクトルにもつ平面を作る。(2)では に垂直な平面 で切る。 平面上では切り口が直線 になるので，領域 との交わりを線分として求め，その線分を軸のまわりに回転させた環状断面の面積を で積分する。
解答
(1)
直線 の方向ベクトルは である。したがって，点 を通り と垂直な平面はである。これと 平面 との交線はである。
(2)
平面 で回転体を切る。 平面上では であり， と交わるためには である。 とおくと，条件 はを与える。よって とおくと，切り口の線分はで表される。
点 から直線 までの距離を とする。 上では
である。またなので，この線分上では が大きいほど も大きい。したがって，回転による断面は環状であり，外半径は の点から，内半径は の点から得られる。
外半径の2乗は であり，内半径の2乗はである。 を用いると，断面積は
となる。
平面 と の間の軸方向の距離は である。ゆえに求める体積は
である。ここで と置換すると であるから，
である。