東京工業大学 2009年度理系数学第1問解答・解説

問題

点 $P$ から放物線 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ へ2本の接線が引けるとき，2つの接点を $A$ ， $B$ とし，線分 $P A$ ， $P B$ およびこの放物線で囲まれる図形の面積を $S$ とする。 $P A$ ， $P B$ が直交するときの $S$ の最小値を求めよ。

出典：東京工業大学 2009年度前期日程理系第1問

方針

接点の $x$ 座標を $α, β$ とおき，2本の接線の交点として $P$ を表す。接線どうしの直交条件は $α β = - 1$ に直せる。面積は放物線と2本の接線の差を左右に分けて積分し， $β - α$ だけで表す。最後に $α β = - 1$ のもとで $β - α$ の最小値を調べる。

解答

接点の $x$ 座標を $α, β$ とし， $α < β$ とする。放物線上の点 $(s, \frac{1}{2} s^{2})$ における接線は $y = s x - \frac{1}{2} s^{2}$ である。したがって2本の接線の交点 $P$ は $P (\frac{α + β}{2}, \frac{α β}{2})$ である。

$M = \frac{α + β}{2}$ とおく。区間 $[α, M]$ では接点 $α$ における接線が境界となり，区間 $[M, β]$ では接点 $β$ における接線が境界となる。よって

S = \int_{α}^{M} \frac{1}{2} (x - α)^{2} d x + \int_{M}^{β} \frac{1}{2} (x - β)^{2} d x = \frac{( β - α ) ^{3}}{24}

である。

また

P A = \frac{α - β}{2} (1, α), P B = \frac{β - α}{2} (1, β)

であるから， $P A ⊥ P B$ は

P A \cdot P B = - \frac{( β - α ) ^{2}}{4} (1 + α β) = 0

と同値である。2本の接線は異なるので $β - α \neq = 0$ であり，したがって $α β = - 1$ である。

このとき

(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = (α + β)^{2} + 4 ≧ 4

である。ゆえに $β - α ≧ 2$ であり，等号は $α + β = 0$ ，すなわち $(α, β) = (- 1, 1)$ のときに成り立つ。したがって

S_{m i n} = \frac{2 ^{3}}{24} = \frac{1}{3}

である。

東京工業大学 2009年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 2009年度
理系数学第1問