東京工業大学 2009年度
理系数学 第3問

解答

方程式 $x^2-nx+m=0$ が $N$ 以上の実数解 $\alpha$ をもつとする。もう一つの根を $\beta$ とすると，$\alpha +\beta =n$，$\alpha \beta =m$ である。ここで $m>0$，$n>0$ なので $\beta >0$ であり，したがって $\alpha <n$ である。ゆえに $n>N$ でなければならない。

逆に $n>N$ を固定して考える。根 $\alpha$ が $N\leqq \alpha <n$ を動くとき，$m=\alpha (n-\alpha )$である。関数 $g(x)=x(n-x)$ は，$N\leqq x\leqq n$ において $g^{\prime }(x)=n-2x\leqq n-2N\leqq 0$ であるから減少する。したがって，$N\leqq \alpha <n$ となる実数解が存在することは$0<m\leqq N(n-N)$と同値である。

ただし問題の条件として $m\leqq 2N$ も必要である。$n=N+k$ とおくと，$k=1,2,\dots ,N$ であり，この $n$ に対する $m$ の個数は$\min (2N,Nk)$である。$k=1$ のときは $N$ 個，$k=2,3,\dots ,N$ のときは $2N$ 個である。よって求める組の個数は$N+2N(N-1)=2N^2-N$である。