問題
実数 に対し，次の1次変換
を考える。以下の2条件をみたす直線 が存在するような を求めよ。
(1) は点 を通る。
(2) 点 が 上にあれば，その による像 も 上にある。
出典：東京工業大学 2009年度 前期日程 理系 第2問
方針
直線 が縦直線である場合と， と書ける場合に分ける。後者では 上の一般点 の像が再び を満たすことを， についての恒等式として係数比較する。
解答
まず が縦直線である場合を考える。点 を通る縦直線は である。点 の像は であるから，これがすべて 上にあるための条件は ，すなわち である。
次に が縦直線でない場合を考える。このとき は と書ける。 上の点 の像を とすると，
である。これがすべて を満たすためには，
が必要十分である。
もし なら，1つ目の式が となり不可能である。したがって であり，2つ目の式はと同値なので， である。1つ目の式に を代入すると となり不可能である。 を代入するとより を得る。
実際， のときは直線 が条件を満たし， のときは直線 が条件を満たす。よって求める値はである。