東京工業大学 2009年度
AO・理系数学 第4問

解答

定円 $C$ の中心を原点 $O$ とし，円板 $D$ の中心が $O$ のまわりに角 $\theta$ だけ進んだとする。円板の周上の点 $P$ の初期位置によるずれを $\delta$ とおけば，すべらない条件より $P$ の位置ベクトルは

と表せる。

$\theta$ は時間とともに一定の割合で増えるので，速度ベクトルが $\vec{0}$ となる場所を調べるには，$\theta$ による微分が $\vec{0}$ となる条件を調べればよい。微分すると，速度が0であることは

と同値である。したがって$\frac{R+r}{r}\theta +\delta =\theta +2\pi m$すなわち$\frac{R}{r}\theta +\delta =2\pi m$となる整数 $m$ が存在することが条件である。

このとき $P$ は接点に一致し，その場所は定円 $C$ 上の偏角 $\theta$ の点である。したがって問題は${\theta }_m=\frac{r}{R}(2\pi m-\delta )$が $2\pi$ を法として有限個の値しかとらない条件を求めることに帰着する。

$\frac{r}{R}$ が有理数ならば，${\theta }_m$ の $2\pi$ を法とする値は有限個である。逆に $\frac{r}{R}$ が無理数ならば，異なる整数 $m_1,m_2$ に対して ${\theta }_{m_1}$ と ${\theta }_{m_2}$ が $2\pi$ の整数倍だけ異なるとすると，$\frac{r}{R}(m_1-m_2)$が整数となるが，これは $\frac{r}{R}$ が無理数であることに反する。よって値は無限個である。

したがって，速度ベクトルが $\vec{0}$ となる場所が有限個であるための必要十分条件は$\frac{r}{R}\text{が有理数であること}$である。これは $\frac{R}{r}$ が有理数であることと同値である。