東京工業大学 2009年度 AO・理系数学第1問解答・解説

問題

$f_{1} (x) = π sin x$ とし， $n = 2, 3, 4, \dots$ に対して $f_{n} (x) = f_{1} (f_{n - 1} (x))$ で関数の列 $f_{2} (x), f_{3} (x), f_{4} (x), \dots$ を定める。このとき，区間 $0 < x < π$ において $f_{n} (x)$ が極値をとるような $x$ の個数を $n$ で表せ。

出典：東京工業大学 2009年度 AO入試 AO・理系第1問

方針

$g (x) = π sin x$ ， $f_{0} (x) = x$ と見ると， $f_{n} = g (f_{n - 1})$ である。導関数が0になるのは，途中の値 $f_{j} (x)$ が $\frac{π}{2}$ になるときである。そこで $f_{j} (x) = \frac{π}{2}$ の解の個数を帰納的に数える。各解は次の合成で実際に極大または極小を与えることも確認する。

解答

$g (x) = π sin x$ ，また便宜上 $f_{0} (x) = x$ とおく。このとき $f_{n} = g (f_{n - 1})$ である。

$0 < y < π$ に対して，方程式 $g (x) = y$ ，すなわち $π sin x = y$ は $0 < x < π$ にちょうど2個の解をもつ。そこで， $0 < y < π$ に対して方程式 $f_{j} (x) = y$ の解の個数を $M_{j} (y)$ とする。 $j = 0$ では $M_{0} (y) = 1$ であり， $f_{j + 1} (x) = y$ は $f_{j} (x)$ が $g (u) = y$ の2つの解のどちらかに等しいことと同値である。帰納的に $M_{j} (y) = 2^{j}$ がすべての $0 < y < π$ で成り立つ。

特に， $N_{j}$ を方程式 $f_{j} (x) = \frac{π}{2} (0 < x < π)$ の解の個数とすると， $N_{j} = 2^{j}$ である。

一方， $f_{n}^{'} (x)$ は $π cos f_{n - 1} (x), π cos f_{n - 2} (x), \dots, π cos f_{1} (x), π cos x$ をすべて掛けた形になる。したがって $f_{n}^{'} (x) = 0$ となるのは，ある $j = 0, 1, \dots, n - 1$ について $f_{j} (x) = \frac{π}{2}$ となるときである。

これらの解は重複しない。実際， $f_{j} (x) = \frac{π}{2}$ ならば $f_{j + 1} (x) = π$ ，さらに $f_{j + 2} (x) = 0$ で，それ以後も値は0であるから，別の段階で再び $\frac{π}{2}$ にはならない。

また，最初に $f_{j} (x) = \frac{π}{2}$ となる点では， $f_{j}$ はその値を通過し， $f_{j + 1} = π sin f_{j}$ はその点で極大値 $π$ をとる。さらに合成を続ける場合は，次の関数で値0の極小となり，その後も極小として残る。したがって数えた点はすべて $f_{n}$ の極値を与える。

よって求める個数は

N_{0} + N_{1} + \dots + N_{n - 1} = 1 + 2 + \dots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1

である。

東京工業大学 2009年度AO・理系数学 第1問

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AO・理系数学第1問