東京工業大学 2009年度 AO・理系数学第2問解答・解説

問題

漸化式 $c_{n + 1} = 8 c_{n} - 7$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を満たす数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots$ を考える。数列 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots$ に素数がただ1つだけ現れるような正の整数 $c_{1}$ を2つ求めよ。

出典：東京工業大学 2009年度 AO入試 AO・理系第2問

方針

漸化式を $c_{n + 1} - 1 = 8 (c_{n} - 1)$ と変形し，一般項 $c_{n} = 1 + 8^{n - 1} (c_{1} - 1)$ を得る。 $c_{1} = 2$ では和の3乗因数分解により第2項以降が合成数になる。 $c_{1} = 7$ では $8 \equiv 1 (mod 7)$ を用いて第2項以降が7の倍数になることを示す。

解答

漸化式は $c_{n + 1} - 1 = 8 (c_{n} - 1)$ と書けるので， $c_{n} = 1 + 8^{n - 1} (c_{1} - 1)$ である。

まず $c_{1} = 2$ とする。このとき $c_{1} = 2$ は素数である。 $n ≧ 2$ では

c_{n} = 1 + 8^{n - 1} = 1 + (2^{n - 1})^{3} = (2^{n - 1} + 1) (2^{2 n - 2} - 2^{n - 1} + 1)

である。右辺の2つの因数はいずれも1より大きいので， $c_{n}$ は合成数である。したがって素数は $c_{1} = 2$ だけである。

次に $c_{1} = 7$ とする。このとき $c_{1} = 7$ は素数である。また $8 \equiv 1 (mod 7)$ であるから，すべての $n$ について $c_{n} = 1 + 6 \cdot 8^{n - 1} \equiv 1 + 6 \equiv 0 (mod 7)$ である。 $n ≧ 2$ では $c_{n} > 7$ なので， $c_{n}$ は合成数である。したがって素数は $c_{1} = 7$ だけである。

以上より，条件を満たす正の整数として $c_{1} = 2, 7$ が得られる。

東京工業大学 2009年度AO・理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京工業大学 2009年度
AO・理系数学第2問