東京工業大学 2009年度 AO・理系数学第3問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対し，第一象限において不等式

n x ≧ y ≧ x^{n} + \frac{1}{2} x^{n - 1} + \frac{1}{3} x^{n - 2} + \dots + \frac{1}{n} x + \frac{1}{n + 1}

の表す領域の面積を $S (n)$ とする。極限値 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} S (n)$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2009年度 AO入試 AO・理系第3問

方針

下側の関数を $F_{n} (x)$ とおく。上からは，領域が $x = 1 + ε$ より右へは出ないことを $x^{n} > n x$ で示し，面積を三角形で押さえる。下からは $0 ≦ x ≦ 1$ で $F_{n} (x) ≦ 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n + 1}$ を用い， $x$ がごく小さい部分を除いた $0 ≦ x ≦ 1$ の帯を領域に含める。最後にはさみうちで極限を求める。

解答

$F_{n} (x) = x^{n} + \frac{1}{2} x^{n - 1} + \frac{1}{3} x^{n - 2} + \dots + \frac{1}{n} x + \frac{1}{n + 1}$ とおく。

まず上から評価する。任意の正の数 $ε$ を固定する。十分大きい $n$ では $(1 + ε)^{n - 1} > n$ である。したがって $x ≧ 1 + ε$ ならば $x^{n} = x \cdot x^{n - 1} ≧ x (1 + ε)^{n - 1} > n x$ となる。ゆえに，十分大きい $n$ では領域は $0 ≦ x < 1 + ε$ に含まれる。よって

S (n) ≦ \int_{0}^{1 + ε} n x d x = \frac{n ( 1 + ε ) ^{2}}{2}

である。任意の正の数 $η$ に対し， $ε$ を十分小さくとれば $\frac{( 1 + ε ) ^{2}}{2} < \frac{1}{2} + η$ である。よって，十分大きい $n$ では $\frac{S ( n )}{n} < \frac{1}{2} + η$ である。

次に下から評価する。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $F_{n} (x) ≦ H_{n}, H_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n + 1}$ である。ここで $H_{n} ≦ 1 + lo g (n + 1)$ なので $\frac{H _{n}}{n} \to 0$ である。 $a_{n} = \frac{H _{n}}{n}$ とおくと， $a_{n} \to 0$ であり， $a_{n} ≦ x ≦ 1$ では $n x ≧ H_{n} ≧ F_{n} (x)$ となる。したがってこの範囲は領域に含まれ，

S (n) ≧ \int_{a_{n}}^{1} {n x - F_{n} (x)} d x ≧ n \int_{a_{n}}^{1} x d x - H_{n}

である。両辺を $n$ で割ると $\frac{S ( n )}{n} ≧ \frac{1 - a _{n}^{2}}{2} - \frac{H _{n}}{n}$ となる。右辺は $\frac{1}{2}$ に収束するので，任意の正の数 $η$ に対し，十分大きい $n$ では $\frac{S ( n )}{n} > \frac{1}{2} - η$ である。

以上より，任意の正の数 $η$ に対して，十分大きい $n$ では $\frac{1}{2} - η < \frac{S ( n )}{n} < \frac{1}{2} + η$ が成り立つ。したがって

n \to \infty lim \frac{S ( n )}{n} = \frac{1}{2}

である。

東京工業大学 2009年度AO・理系数学 第3問

問題

方針

解答

東京工業大学 2009年度
AO・理系数学第3問