東京工業大学 2008年度理系数学第4問解答・解説

問題

平面の原点 $O$ を端点とし， $x$ 軸となす角がそれぞれ $- α$ ， $α$ である半直線を $L_{1}$ ， $L_{2}$ とする。ただし $0 < α < π /3$ とする。 $L_{1}$ 上に点 $P$ ， $L_{2}$ 上に点 $Q$ を線分 $P Q$ の長さが1となるようにとり，点 $R$ を，直線 $P Q$ に対し原点 $O$ の反対側に $△ P QR$ が正三角形になるようにとる。

(1) 線分 $P Q$ が $x$ 軸と直交するとき，点 $R$ の座標を求めよ。

(2) 2点 $P$ ， $Q$ が，線分 $P Q$ の長さを1に保ったまま $L_{1}$ ， $L_{2}$ 上を動くとき，点 $R$ の軌跡はある楕円の一部であることを示せ。

出典：東京工業大学 2008年度前期理系第4問

方針

$P$ ， $Q$ をそれぞれ半直線上の距離 $u$ ， $v$ で座標表示する。(1)は $P Q ⊥ x$ 軸から $u = v$ を出す。(2)は $u + v$ と $v - u$ を変数にして， $∣ P Q ∣ = 1$ の条件と，正三角形の第3頂点 $R$ の座標を結び，楕円の方程式を得る。

解答

(1)

$P = (u cos α, - u sin α)$ ， $Q = (v cos α, v sin α)$ とおく。 $P Q$ が $x$ 軸と直交するなら2点の $x$ 座標が等しいので， $u = v$ である。さらに $P Q = 1$ より $2 u sin α = 1$ ，すなわち $u = 1/ (2 sin α)$ である。

このとき $P Q$ の中点は $(u cos α, 0)$ であり， $O$ と反対側は右側である。したがって $R = (u cos α + 3 /2, 0)$ である。ゆえに，点 $R$ の座標は $((cot α + 3) /2, 0)$ である。

(2)

$γ = cos α$ ， $σ = sin α$ とおく。 $P = (u γ, - u σ)$ ， $Q = (v γ, v σ)$ と表すと， $P Q = 1$ は $γ^{2} (v - u)^{2} + σ^{2} (u + v)^{2} = 1$ と書ける。

$P Q = (γ (v - u), σ (u + v))$ であり，これを時計回りに90度回転したベクトルは $(σ (u + v), - γ (v - u))$ である。この向きは，(1)で $u = v$ としたときに $R$ を中点の右側へ移す向きであり，条件で指定された原点 $O$ と反対側の向きと一致する。したがって $R = (X, Y)$ は

X = \frac{γ + 3 σ}{2} (u + v), Y = \frac{σ - 3 γ}{2} (v - u)

をみたす。 $0 < α < π /3$ より $(γ + 3 σ) /2 \neq = 0$ ， $(σ - 3 γ) /2 \neq = 0$ である。したがって $u + v$ ， $v - u$ を消去すると

\frac{σ ^{2} X ^{2}}{( ( γ + 3 σ ) /2 ) ^{2}} + \frac{γ ^{2} Y ^{2}}{( ( σ - 3 γ ) /2 ) ^{2}} = 1

を得る。これは楕円である。さらに $u ≧ 0$ ， $v ≧ 0$ という条件があるので，実際の軌跡はこの楕円の一部である。

東京工業大学 2008年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2008年度
理系数学第4問