東京工業大学 2008年度理系数学第3問解答・解説

問題

いびつなサイコロがあり，1から6までのそれぞれの目が出る確率が $1/6$ とは限らないとする。このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率を $P$ とし，1回目に奇数，2回目に偶数の目が出る確率を $Q$ とする。

(1) $P ≧ 1/6$ であることを示せ。また，等号が成立するための必要十分条件を求めよ。

(2) $1/4 ≧ Q ≧ 1/2 - (3/2) P$ であることを示せ。

出典：東京工業大学 2008年度前期理系第3問

方針

各目の確率を $p_{1}, \dots, p_{6}$ とおく。(1)は $(p_{1} + \dots + p_{6})^{2} ≦ 6 (p_{1}^{2} + \dots + p_{6}^{2})$ を用いる。(2)は奇数の出る確率を $r$ とおき， $Q = r (1 - r)$ から上限を出す。下限は奇数3個，偶数3個に分けてそれぞれ平方和を評価する。

解答

(1)

目 $i$ の出る確率を $p_{i}$ とする。すると $p_{1} + \dots + p_{6} = 1$ であり， $P = p_{1}^{2} + \dots + p_{6}^{2}$ である。コーシー・シュワルツの不等式より

1^{2} = (p_{1} + p_{2} + \dots + p_{6})^{2} ≦ 6 (p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + \dots + p_{6}^{2}) = 6 P

だから， $P ≧ 1/6$ である。等号が成立するのは $p_{1} = p_{2} = \dots = p_{6}$ のとき，すなわちすべての目の確率が $1/6$ のときであり，またそのとき実際に等号が成立する。

(2)

奇数の目が出る確率を $r = p_{1} + p_{3} + p_{5}$ とおく。偶数の目が出る確率は $1 - r$ であるから， $Q = r (1 - r)$ である。よって $(r - 1/2)^{2} ≧ 0$ から $Q ≦ 1/4$ である。

また，(1)と同じ不等式を奇数の目と偶数の目に分けて用いると

P ≧ \frac{( p _{1} + p _{3} + p _{5} ) ^{2}}{3} + \frac{( p _{2} + p _{4} + p _{6} ) ^{2}}{3} = \frac{r ^{2} + ( 1 - r ) ^{2}}{3} = \frac{1 - 2 Q}{3}

である。したがって $Q ≧ 1/2 - (3/2) P$ である。

東京工業大学 2008年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2008年度
理系数学第3問