東京工業大学 2008年度理系数学第2問解答・解説

問題

実数 $x$ に対し， $x$ 以上の最小の整数を $f (x)$ とする。 $a$ ， $b$ を正の実数とするとき，極限

x \to \infty lim x^{c} (\frac{1}{f ( a x - 7 )} - \frac{1}{f ( b x + 3 )})

が収束するような実数 $c$ の最大値と，そのときの極限値を求めよ。

出典：東京工業大学 2008年度前期理系第2問

方針

まず $a \neq = b$ のときは $f (a x - 7)$ と $f (b x + 3)$ がそれぞれ $a x$ ， $b x$ と同じ一次の大きさをもつことから，差の主要項を $1/ x$ と見る。 $a = b$ のときは $f (a x + 3) = f (a x - 7) + 10$ が成り立つため，差が $1/ x^{2}$ の大きさになることを使う。

解答

$f (y)$ は $y ≦ f (y) < y + 1$ をみたす。

まず $a \neq = b$ とする。このとき $f (a x - 7) / x \to a$ ， $f (b x + 3) / x \to b$ であるから

x (\frac{1}{f ( a x - 7 )} - \frac{1}{f ( b x + 3 )}) = \frac{x}{f ( a x - 7 )} - \frac{x}{f ( b x + 3 )} \to \frac{1}{a} - \frac{1}{b}

である。右辺は $a \neq = b$ より $0$ でない。したがって収束する最大の $c$ は $c = 1$ であり，そのときの極限値は $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{ab}$ である。

次に $a = b$ とする。 $f (y + 10) = f (y) + 10$ であるから， $m = f (a x - 7)$ とおくと $f (a x + 3) = m + 10$ である。よって

\frac{1}{f ( a x - 7 )} - \frac{1}{f ( a x + 3 )} = \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 10} = \frac{10}{m ( m + 10 )}

である。また $m / x \to a$ だから $x^{2} {1/ f (a x - 7) - 1/ f (a x + 3)} \to 10/ a^{2}$ である。したがって収束する最大の $c$ は $c = 2$ であり，そのときの極限値は $10/ a^{2}$ である。

東京工業大学 2008年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

東京工業大学 2008年度
理系数学第2問