東京工業大学 2008年度理系数学第1問解答・解説

問題

正の実数 $a$ ， $b$ に対し， $x > 0$ で定義された2つの関数 $y = x^{a}$ と $y = lo g (b x)$ のグラフが1点で接するとする。

(1) 接点の座標 $(s, t)$ を $a$ を用いて表せ。また， $b$ を $a$ の関数として表せ。

(2) $0 < h < s$ をみたす $h$ に対し，直線 $x = h$ および2つの曲線 $y = x^{a}$ ， $y = lo g (b x)$ で囲まれる領域の面積を $A (h)$ とする。 $lim_{h \to 0} A (h)$ を $a$ で表せ。

出典：東京工業大学 2008年度前期理系第1問

方針

接点の $x$ 座標を $s$ とし，値と導関数の一致から $s^{a}$ と $b$ を決める。(2)では差 $x^{a} - lo g (b x)$ の符号を導関数で確認し， $h \to 0$ で不定積分の端点値を計算する。

解答

(1)

接点の $x$ 座標を $s$ とする。値と傾きが一致するから， $s^{a} = lo g (b s)$ かつ $a s^{a - 1} = 1/ s$ である。よって $a s^{a} = 1$ であり， $s = a^{- 1/ a}$ ， $t = s^{a} = 1/ a$ である。

また $lo g (b s) = 1/ a$ だから $b s = e^{1/ a}$ である。したがって $b = e^{1/ a} a^{1/ a} = (a e)^{1/ a}$ である。

(2)

$g (x) = x^{a} - lo g (b x)$ とおく。(1)より $g (s) = 0$ であり， $g^{'} (x) = a x^{a - 1} - 1/ x = (a x^{a} - 1) / x$ である。 $0 < x < s$ では $a x^{a} < 1$ だから $g^{'} (x) < 0$ である。さらに $x \to 0 +$ のとき $g (x) \to \infty$ であるから， $0 < x < s$ で $g (x) > 0$ である。

したがって

h \to 0 lim A (h) = \int_{0}^{s} {x^{a} - lo g (b x)} d x = [\frac{x ^{a + 1}}{a + 1} - x lo g (b x) + x]_{0}^{s}

である。ここで $x lo g (b x) \to 0$ であるから，(1)の $s^{a} = 1/ a$ ， $lo g (b s) = 1/ a$ を用いて

h \to 0 lim A (h) = \frac{s ^{a + 1}}{a + 1} - \frac{s}{a} + s = \frac{s}{a ( a + 1 )} + \frac{a - 1}{a} s = \frac{a}{a + 1} s

となる。ゆえに $lim_{h \to 0} A (h) = \frac{a}{a + 1} a^{- 1/ a}$ である。

東京工業大学 2008年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2008年度
理系数学第1問