東京工業大学 2008年度 AO・理系数学 AO第4問解答・解説

問題

$p$ を正数とし， $S$ を $y^{2} = 4 p x$ と表示される放物線とする。点 $P = (a, b)$ から $S$ への法線が何本ひけるか，場合分けして述べよ。

出典：東京工業大学 2008年度 AO AO・理系 AO第4問

方針

放物線上の点を媒介変数 $t$ で $(p t^{2}, 2 pt)$ と表し，その点での法線の方程式を書く。点 $(a, b)$ を通る条件は $t$ の三次方程式になるため，その実数解の個数を導関数で分類する。 $a ≦ 2 p$ と $a > 2 p$ で増減の様子が変わる。

解答

放物線上の点を $(p t^{2}, 2 pt)$ と表す。この点における法線は $y - 2 pt = - t (x - p t^{2})$ である。これは $t = 0$ のときも頂点での法線 $y = 0$ を表す。

点 $(a, b)$ がこの法線上にある条件は $p t^{3} + (2 p - a) t - b = 0$ である。したがって，求める本数はこの三次方程式の相異なる実数解の個数に等しい。

$F (t) = p t^{3} + (2 p - a) t - b$ とおく。 $a ≦ 2 p$ のとき， $F (t)$ は単調に増加するので，実数解はただ1つである。よって法線は1本である。

$a > 2 p$ のとき， $u = (a - 2 p) / (3 p)$ とおくと， $F (t)$ は $t = - u$ で極大， $t = u$ で極小となる。また $F (- u) = 2 p u^{3} - b$ ， $F (u) = - 2 p u^{3} - b$ である。したがって， $B = 2 p u^{3} = 2 p ((a - 2 p) / (3 p))^{3/2}$ とおくと，次のように分類される。

条件 ∣ b ∣ < B ∣ b ∣ = B ∣ b ∣ > B 法線の本数 3 本 2 本 1 本

以上より， $a ≦ 2 p$ では常に1本であり， $a > 2 p$ では上の表の通りである。

東京工業大学 2008年度AO・理系数学 AO第4問

問題

方針

解答

東京工業大学 2008年度
AO・理系数学 AO第4問