問題
正4面体を，底面に平行な 枚の平面で高さを 等分するように切る。残りの面に関しても同様に切ると正4面体は幾つの部分に分かれるか。個数を求めよ。
出典：東京工業大学 2008年度 AO AO・理系 AO第3問
方針
正4面体の4つの面を基準に，点から各面までの距離を高さで割った量 を用いる。これらは をみたし，切断面は と表せる。各小部分の内部ではそれぞれの が連続する2つの目盛りの間にあるため，対応する4つの整数の和の可能性を数える。
解答
正4面体の4つの面を とする。内部の点 から までの距離を正4面体の高さで割ったものを とする。点 を頂点とし各面を底面とする4つの四面体の体積を考えると， である。
各面に平行な切断面は と表される。1つの小部分の内部では，各 について，ある整数 を用いてと書ける。ここで は 以上 以下である。逆にこのような条件と が同時に成り立つなら，それは1つの小部分の内部を与える。
とする。上の不等式を足すと である。したがって は のうち， をみたすものに限られる。逆にそのような ならば，対応する内部点を取ることができる。
4つの 以上の整数の和が である組の数は である。ここで なので は自動的にみたされる。また の項は では現れないが，式 が になるため，同じ和の式で扱える。よって求める個数は
である。