東京工業大学 2008年度
AO・理系数学 AO第2問

解答

次数 $n$ について数学的帰納法で示す。$n=0$ のときは定数多項式なので明らかである。

$n\geqq 1$ とし，$n-1$ 次以下の多項式について命題が成り立つと仮定する。$Q(x)=P(x+1)-P(x)$ とおくと，$Q(x)$ は高々 $n-1$ 次の多項式である。また $j=0,1,\dots ,n-1$ について $Q(j)=P(j+1)-P(j)$ は整数である。

帰納法の仮定より，すべての整数 $m$ に対して $Q(m)$ は整数である。$k>0$ のとき$P(k)=P(0)+{\sum }_{m=0}^{k-1}Q(m)$であり，右辺は整数である。$k=0$ のときは仮定より整数である。$k<0$ のときは$P(k)=P(0)-{\sum }_{m=k}^{-1}Q(m)$であり，これも整数である。

したがってすべての整数 $k$ に対して $P(k)$ は整数である。