東京工業大学 2008年度 AO・理系数学 AO第1問解答・解説

問題

$0 < α < π$ とする。 $x y z$ 空間上の3点 $A$ ， $B$ ， $C$ は次の条件をみたすように配置してあるとする。

(i) $A$ ， $B$ は原点を中心とする $x y$ 平面上の半径1の円周上にある。

(ii) $C$ は $z$ 軸の正の部分にある。

(iii) $∠ A C B = α$ 。

以上の(i)，(ii)，(iii)を満たす $A$ ， $B$ ， $C$ と原点 $O$ が作る4面体 $O A B C$ のうち体積が最大のものの体積を $V (α)$ とする。このとき極限値 $lim_{α \to 0} α V (α)$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2008年度 AO AO・理系 AO第1問

方針

$C = (0, 0, h)$ とし， $∠ A O B = θ$ とおく。 $A B$ を円周上の弦として表す式と，三角形 $A C B$ で表す式を等置する。体積は底面 $O A B$ の面積に高さ $h$ を掛けたものなので， $w = (1 + h^{2}) sin^{2} (α /2)$ によって一変数の最大化へ落とす。最後に $α \to 0$ の極限では $w^{2} (1 - w)$ の最大値を使う。

解答

$C = (0, 0, h) (h > 0)$ とし， $∠ A O B = θ (0 ≦ θ ≦ π)$ とする。底面 $O A B$ の面積は $(1/2) sin θ$ であるから，4面体の体積は $h sin θ /6$ である。

$s = sin (α /2)$ とおく。円周上の弦として $A B = 2 sin (θ /2)$ であり，三角形 $A C B$ では $C A = C B = 1 + h^{2}$ だから $A B = 2 1 + h^{2} s$ である。よって $sin (θ /2) = 1 + h^{2} s$ である。

$w = (1 + h^{2}) s^{2}$ とおくと $s^{2} ≦ w ≦ 1$ であり， $V (α) = \frac{1}{3 s} w (w - s^{2}) (1 - w)$ となる。したがって $F_{s} (w) = w (w - s^{2}) (1 - w)$ の $s^{2} ≦ w ≦ 1$ における最大値を考えればよい。

$0 ≦ w ≦ 1$ で $∣ F_{s} (w) - w^{2} (1 - w) ∣ = s^{2} w (1 - w) ≦ s^{2}$ であるから， $s \to 0$ のとき $F_{s} (w)$ の最大値は $w^{2} (1 - w)$ の最大値に近づく。 $w^{2} (1 - w)$ は $0 ≦ w ≦ 1$ で $w = 2/3$ のとき最大となり，最大値は $4/27$ である。

ゆえに $s V (α) \to (1/3) 4/27 = 2/ (93)$ である。また $α / s \to 2$ だから $lim_{α \to 0} α V (α) = 4/ (93)$ である。

東京工業大学 2008年度AO・理系数学 AO第1問

問題

方針

解答

東京工業大学 2008年度
AO・理系数学 AO第1問