問題
一辺の長さが1の正八角形 の周上を3点 ，， が動くとする。
(1) の面積の最大値を求めよ。
(2) が正八角形の頂点 に一致し， となるとき の面積の最大値を求めよ。
% 図は省略
出典：東京工業大学 2007年度 前期日程 理系 第3問
方針
(1)は凸多角形内の三角形面積が各頂点の位置について符号付き面積が辺上で一次的に変化することから，最大は正八角形の頂点を選ぶ場合に限ればよい。頂点間の間隔を として中心角を使い，和が8になる正整数の組を比較する。(2)は直角三角形の面積を斜辺 で評価し， が正八角形の外接円の直径以下であることを使う。
解答
(1)
正八角形の外接円の半径を とする。一辺の長さが1であるからであり，である。
三角形の他の2点を固定すると，残りの1点が正八角形の一辺上を動くとき，底辺を固定した符号付き面積はその辺上で一次的に変化する。実際の面積はその絶対値であり，一次関数の絶対値は閉区間の端点で最大をとればよい。したがって最大値は， がいずれも正八角形の頂点である場合に現れる。
選ばれた3頂点が外接円の中心で切り取る弧の辺数を とすると， は正整数で である。この三角形の面積は
である。順序を除いて調べるべき組はであり，正弦の和が最大となるのは のときで，その和は である。よって最大面積は
である。
(2)
なので， は直角三角形 の斜辺である。 とすると，面積は であり，である。正八角形は半径 の円に含まれるので，周上の2点 について である。したがって面積は 以下である。
一方， とし， と取ると， で， は外接円の直径である。このとき でもあるから，面積は に等しい。よって求める最大値はである。