東京工業大学 2007年度理系数学第2問解答・解説

問題

正数 $a$ に対して，放物線 $y = x^{2}$ 上の点 $A (a, a^{2})$ における接線を， $A$ を中心に $- 3 0^{\circ}$ 回転した直線を $l$ とする。 $l$ と $y = x^{2}$ との交点で $A$ でない方を $B$ とする。さらに点 $(a, 0)$ を $C$ ，原点を $O$ とする。

(1) $l$ の式を求めよ。

(2) 線分 $O C$ ， $C A$ と $y = x^{2}$ で囲まれる部分の面積を $S (a)$ ，線分 $A B$ と $y = x^{2}$ で囲まれる部分の面積を $T (a)$ とする。このとき $lim_{a \to \infty} \frac{T ( a )}{S ( a )}$ を求めよ。

出典：東京工業大学 2007年度前期日程理系第2問

方針

接線の傾き $2 a$ を角度で表し，傾きを $- 3 0^{\circ}$ 回転する公式で直線 $l$ の傾きを求める。 $l$ と放物線の2交点の $x$ 座標を使うと，線分 $A B$ と放物線で囲まれる面積は $\frac{( a - b ) ^{3}}{6}$ と書ける。最後は $S (a) = \frac{a ^{3}}{3}$ と比較して極限を取る。

解答

(1)

$y = x^{2}$ の $A (a, a^{2})$ における接線の傾きは $2 a$ である。したがって，この接線の方向角を $θ$ とすると $tan θ = 2 a$ である。これを $- 3 0^{\circ}$ 回転した直線 $l$ の傾き $k$ は

k = tan (θ - \frac{π}{6}) = \frac{2 a - \frac{1}{3}}{1 + \frac{2 a}{3}} = \frac{2 3 a - 1}{2 a + 3}

である。よって $l : y - a^{2} = \frac{2 3 a - 1}{2 a + 3} (x - a)$ である。

(2)

$B$ の $x$ 座標を $b$ とする。直線 $A B$ の傾きは，放物線の2点 $(a, a^{2})$ ， $(b, b^{2})$ を結ぶ直線の傾きでもあるから $a + b = k$ であり， $b = k - a$ である。したがって $a - b = 2 a - k$ である。

線分 $A B$ と放物線の間の面積は

T (a) = \int_{b}^{a} {(x - b) (a - x)} d x = \frac{( a - b ) ^{3}}{6} = \frac{( 2 a - k ) ^{3}}{6}

である。また $S (a) = \int_{0}^{a} x^{2} d x = \frac{a ^{3}}{3}$ である。

ここで

2 a - k = 2 a - \frac{2 3 a - 1}{2 a + 3} = \frac{4 a ^{2} + 1}{2 a + 3}

であるから，

\frac{T ( a )}{S ( a )} = \frac{1}{2} (\frac{2 a - k}{a})^{3} = \frac{1}{2} (\frac{4 a ^{2} + 1}{a ( 2 a + 3 )})^{3}

である。ゆえに

a \to \infty lim \frac{T ( a )}{S ( a )} = \frac{1}{2} \cdot 2^{3} = 4

である。

東京工業大学 2007年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2007年度
理系数学第2問