東京工業大学 2007年度理系数学第1問解答・解説

問題

$p$ を素数， $n$ を0以上の整数とする。

(1) $m$ は整数で $0 ≦ m ≦ n$ とする。1から $p^{n + 1}$ までの整数の中で， $p^{m}$ で割り切れ $p^{m + 1}$ で割り切れないものの個数を求めよ。

(2) 1から $p^{n + 1}$ までの2つの整数 $x$ ， $y$ に対し，その積 $x y$ が $p^{n + 1}$ で割り切れるような組 $(x, y)$ の個数を求めよ。

出典：東京工業大学 2007年度前期日程理系第1問

方針

整数を $p$ で何回割れるかで分類する。(1)は $p^{m}$ の倍数から $p^{m + 1}$ の倍数を引く。(2)は $x$ が $p^{r}$ で割り切れ $p^{r + 1}$ で割り切れない場合を $r = 0, 1, \dots, n$ と， $x = p^{n + 1}$ の場合に分け，それぞれ $y$ に必要な倍数条件を数える。

解答

(1)

1から $p^{n + 1}$ までの整数のうち $p^{m}$ の倍数は $p^{n + 1 - m}$ 個， $p^{m + 1}$ の倍数は $p^{n - m}$ 個である。したがって求める個数は $p^{n + 1 - m} - p^{n - m} = p^{n - m} (p - 1)$ である。

(2)

$0 ≦ r ≦ n$ とする。 $x$ が $p^{r}$ で割り切れ $p^{r + 1}$ で割り切れないとき，そのような $x$ は(1)より $p^{n - r} (p - 1)$ 個ある。このとき $x y$ が $p^{n + 1}$ で割り切れるためには， $y$ が $p^{n + 1 - r}$ の倍数であればよく，その個数は $p^{r}$ 個である。よってこの部分の組の個数は $p^{n - r} (p - 1) p^{r} = p^{n} (p - 1)$ である。

これを $r = 0, 1, \dots, n$ について足すと $(n + 1) p^{n} (p - 1)$ 個である。さらに $x = p^{n + 1}$ のときは， $y$ は1から $p^{n + 1}$ までの任意の整数でよいので $p^{n + 1}$ 個ある。したがって求める組の個数は $(n + 1) p^{n} (p - 1) + p^{n + 1} = p^{n} {(n + 2) p - (n + 1)}$ である。

東京工業大学 2007年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2007年度
理系数学第1問