問題
空間内の四面体 を考えると，辺 ，，， の中点を，それぞれ ，，， とする。
(1) を示せ。ここに はベクトル の長さを表す。
(2) 四面体 のすべての面が互いに合同であるとする。このとき ，， を示せ。
(3) 辺 の中点を とし，，， とする。(2)の仮定のもとで，四面体 の体積を求めよ。
出典：東京工業大学 2006年度 前期 理系 第4問
方針
(1)は各頂点の位置ベクトルを用いて， と を ， で表す。(2)は4つの合同な三角形の周長を比較し，反対辺の長さが等しいことを示す。(3)は を原点， を 軸に取り，(2)で得た反対辺の長さを使って の座標を決め，底面 と高さから体積を求める。
解答
(1)
点 の位置ベクトルをそれぞれ とする。中点の定義より
である。ここで ， とおくと，，である。したがって
である。
(2)
4つの面が互いに合同であるから，4つの面の周の長さは等しい。辺の長さを，，，，，とおく。三角形 と の周の長さを比べると ，すなわち である。また三角形 と の周の長さを比べると ，すなわち である。この2式を引くと となり，さらに も従う。
次に三角形 と の周の長さを比べると である。すでに であるから である。したがって，，である。
(3)
を原点とし， を 軸に取る。すると
とおける。(2)より ，， である。
点 を 平面上に取る。条件 ， からとおける。また とすると，， より であり，さらに から
とおける。
中点の座標は
である。三角形 は 平面上にあり，，点 から直線 までの距離は である。よって
である。点 から 平面までの距離は だから，四面体 の体積は
である。