東京工業大学 2006年度理系数学第3問解答・解説

問題

平面上を半径 $1$ の $3$ 個の円板が下記の条件 (a) と (b) を満たしながら動くとき，これら $3$ 個の円板の和集合の面積 $S$ の最大値を求めよ。

(a) $3$ 個の円板の中心はいずれも定点 $P$ を中心とする半径 $1$ の円周上にある。

(b) $3$ 個の円板すべてが共有する点は $P$ のみである。

出典：東京工業大学 2006年度前期理系第3問

方針

点 $P$ を原点とし，各円板の中心方向を角度で表す。中心方向の隣り合う角の差を $α, β, γ$ とすると，共通部分が $P$ だけである条件は $α, β, γ ≦ π$ である。隣り合う中心方向の間では，和集合の境界は近い方の円板の境界で決まるので，角の差 $α$ が面積に与える寄与を $α + sin α$ として求める。最後に $sin α + sin β + sin γ$ を最大化する。

解答

点 $P$ を原点とし，円板の中心方向を円周上の角で表す。中心が方向 $θ$ にある円板を考える。点 $P$ から角 $ϕ$ の方向に距離 $r$ だけ進んだ点がこの円板に入る条件は $r^{2} - 2 r cos (ϕ - θ) ≦ 0$ である。したがって $∣ ϕ - θ ∣ ≦ π /2$ のとき，その方向で円板が占める長さは $0 ≦ r ≦ 2 cos (ϕ - θ)$ である。

3つの中心方向を円周上の順に取り，隣り合う角の差を $α, β, γ$ とする。ここで $α + β + γ = 2 π$ である。もしある角の差が $π$ より大きいなら，3つの中心方向は長さ $π$ 未満の弧に入るので，その弧の中央方向へ $P$ から少し進んだ点も3つの円板すべてに入ってしまう。逆に $α, β, γ ≦ π$ なら，どの方向にも少なくとも1つの中心方向となす角が $π /2$ 以上の円板があり， $P$ 以外の共通点はない。よって条件 (b) は $α, β, γ ≦ π$ と同値である。

隣り合う中心方向の角の差を，例えば $α$ とする。この間の方向では，近い方の中心の円板が和集合の外側境界を与える。したがってこの角の間の面積は

4 \int_{0}^{α /2} cos^{2} u d u = α + sin α

である。同様にして

S = (α + sin α) + (β + sin β) + (γ + sin γ) = 2 π + sin α + sin β + sin γ

である。

$α, β, γ$ のうち2つの和を一定にして平均に置き換えると，例えば

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} ≦ 2 sin \frac{α + β}{2}

であるから，和は小さくならない。これを繰り返すと，最大は $α = β = γ = 2 π /3$ のときに起こる。したがって

S_{m a x} = 2 π + 3 sin \frac{2 π}{3} = 2 π + \frac{3 3}{2}

である。

東京工業大学 2006年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

東京工業大学 2006年度
理系数学第3問