東京工業大学 2006年度理系数学第1問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) 自然数 $n$ に対し， $I (n) = \int_{0}^{\frac{nπ}{2}} ∣ sin x ∣ d x$ を求めよ。

(2) 次の不等式を示せ。

0 ≦ \int_{0}^{\frac{s π}{2}} cos x d x - s ≦ (\frac{π}{2} - 1) s (0 ≦ s ≦ 1)

(3) $a$ を正の数とし， $a$ を超えない最大の整数を $[a]$ で表す。 $[a]$ が奇数のとき次の不等式が成り立つことを示せ。

0 ≦ \int_{0}^{\frac{π}{2}} ∣ sin a t ∣ d t - 1 ≦ (\frac{π}{2} - 1) (1 - \frac{[ a ]}{a})

出典：東京工業大学 2006年度前期理系第1問

方針

(1)は長さ $π$ ごとに $∣ sin x ∣$ の積分が $2$ になることと，半周期分の積分が $1$ になることから偶奇に分けて求める。(2)は $\int_{0}^{s π /2} cos x d x = sin (s π /2)$ に直し， $sin u ≦ u$ と，区間 $0 ≦ u ≦ π /2$ における弦の下からの評価を使う。(3)は $n = [a]$ ， $s = a - n$ とおき， $n$ が奇数であることから余りの部分の積分を (2) の形に帰着する。

解答

(1)

$∣ sin x ∣$ は周期 $π$ をもち， $\int_{0}^{π} ∣ sin x ∣ d x = 2$ ， $\int_{0}^{π /2} sin x d x = 1$ である。したがって $n = 2 k$ のとき $I (n) = 2 k = n$ ， $n = 2 k + 1$ のとき $I (n) = 2 k + 1 = n$ である。ゆえに $I (n) = n$ である。

(2)

$\int_{0}^{s π /2} cos x d x = sin (s π /2)$ である。 $u = s π /2$ とおくと $0 ≦ u ≦ π /2$ である。曲線 $y = sin u$ はこの区間で上に凸であるから，両端 $(0, 0)$ ， $(π /2, 1)$ を結ぶ線分より上にあり， $sin u ≧ 2 u / π = s$ である。また $sin u ≦ u$ より $sin (s π /2) - s ≦ (π /2 - 1) s$ である。以上より求める不等式が成り立つ。

(3)

$n = [a]$ ， $s = a - n$ とおくと， $n$ は奇数で $0 ≦ s < 1$ である。 $x = a t$ と置換すると

\int_{0}^{\frac{π}{2}} ∣ sin a t ∣ d t = \frac{1}{a} \int_{0}^{\frac{aπ}{2}} ∣ sin x ∣ d x

である。

$n$ が奇数なので， $0 ≦ u ≦ s π /2$ に対して $∣ sin (nπ /2 + u) ∣ = cos u$ である。したがって (1) より

\int_{0}^{\frac{aπ}{2}} ∣ sin x ∣ d x = n + \int_{0}^{\frac{s π}{2}} cos u d u

である。よって

\int_{0}^{\frac{π}{2}} ∣ sin a t ∣ d t - 1 = \frac{1}{a} (\int_{0}^{\frac{s π}{2}} cos u d u - s)

となる。(2)を用いれば

0 ≦ \int_{0}^{\frac{π}{2}} ∣ sin a t ∣ d t - 1 ≦ \frac{1}{a} (\frac{π}{2} - 1) s = (\frac{π}{2} - 1) (1 - \frac{n}{a})

である。 $n = [a]$ だから，これは示すべき不等式である。

東京工業大学 2006年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2006年度
理系数学第1問