東京工業大学 2006年度理系数学第2問解答・解説

問題

以下の問いに答えよ。

(1) $a$ ， $b$ を正の定数とし， $g (t) = \frac{1}{b} t^{a} - lo g t$ とおく。 $t > 0$ における関数 $g (t)$ の増減を調べ極値を求めよ。

(2) $m$ を正の定数とし， $x y$ 座標平面において条件

(a) $y > x > 0$

(b) すべての $t > 0$ に対し $\frac{1}{y} t^{x} - lo g t ≧ m$

を満たす点 $(x, y)$ からなる領域を $D$ とする。 $D$ の概形を図示せよ。

(3) (2)の領域 $D$ の面積を求めよ。

出典：東京工業大学 2006年度前期理系第2問

方針

(1)は $g^{'} (t)$ の符号を $t^{a} = b / a$ の前後で調べ，最小値を求める。(2)では $h (t) = \frac{1}{y} t^{x} - lo g t$ に(1)を $a = x$ ， $b = y$ として適用し，その最小値が $m$ 以上である条件へ直す。得られる不等式は $1 < y / x ≦ e^{1 - m x}$ であり，領域は $y = x$ と $y = x e^{1 - m x}$ に挟まれる。(3)はこの2曲線の差を $0 < x < 1/ m$ で積分する。

解答

(1)

g^{'} (t) = \frac{a}{b} t^{a - 1} - \frac{1}{t} = \frac{a t ^{a} - b}{b t}

である。 $b t > 0$ だから， $t^{a} < b / a$ のとき $g^{'} (t) < 0$ ， $t^{a} = b / a$ のとき $g^{'} (t) = 0$ ， $t^{a} > b / a$ のとき $g^{'} (t) > 0$ である。したがって $g (t)$ は $0 < t < (b / a)^{1/ a}$ で減少し， $t > (b / a)^{1/ a}$ で増加する。極値は $t = (b / a)^{1/ a}$ における最小値だけであり，その値は

g ((\frac{b}{a})^{1/ a}) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a} lo g \frac{b}{a} = \frac{1 - lo g ( b / a )}{a}

である。

(2)

固定した点 $(x, y)$ に対して $h (t) = \frac{1}{y} t^{x} - lo g t$ とおく。 $x > 0$ ， $y > 0$ であり，

h^{'} (t) = \frac{x}{y} t^{x - 1} - \frac{1}{t} = \frac{x t ^{x} - y}{y t}

であるから，最小となるのは $t^{x} = y / x$ のときである。このときの最小値は

\frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x} - \frac{1}{x} lo g \frac{y}{x} = \frac{1 - lo g ( y / x )}{x}

である。

よって条件 (b) は $\frac{1 - l o g ( y / x )}{x} ≧ m$ と同値である。条件 (a) と合わせると $1 < \frac{y}{x} ≦ e^{1 - m x}$ である。したがって $D$ は， $0 < x < 1/ m$ で $x < y ≦ x e^{1 - m x}$ を満たす部分である。境界は直線 $y = x$ と曲線 $y = x e^{1 - m x}$ であり，両者は $(0, 0)$ と $(1/ m, 1/ m)$ で接続する。ただし $y = x$ は条件 $y > x$ により含まれない。

(3)

面積は境界曲線の差の積分として $\int_{0}^{1/ m} {x e^{1 - m x} - x} d x$ である。ここで $u = m x$ とおくと

\int_{0}^{1/ m} x e^{1 - m x} d x = \frac{e}{m ^{2}} \int_{0}^{1} u e^{- u} d u = \frac{e - 2}{m ^{2}}

である。また $\int_{0}^{1/ m} x d x = \frac{1}{2 m ^{2}}$ だから，求める面積は

\frac{e - 2}{m ^{2}} - \frac{1}{2 m ^{2}} = \frac{e - \frac{5}{2}}{m ^{2}}

である。

東京工業大学 2006年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2006年度
理系数学第2問