問題
実数 ， が を満たしながら変化するとする。
(1) ， とするとき，点 の動く範囲を 平面上に図示せよ。
(2) 負でない定数 をとるとき， の最大値，最小値を を用いて表せ。
出典：東京工業大学 2005年度 前期 理系 第4問
方針
を2次方程式の2解と見て，実数条件から ，円板条件から を得る。これにより の領域は2つの放物線に挟まれる。目的式は なので，固定した では最大が上側境界，最小が下側境界で起こる。最後は 上の1変数の最大最小に直す。
解答
(1)
は2次方程式 の2つの実数解であるから，実数解をもつ条件は ，すなわち である。まただから，円板条件は ，すなわち である。
これらが両立するには が必要十分であり，これは と同値である。したがって点 の範囲はである。すなわち， 平面で放物線 と に挟まれ，両端 で接する部分である。
(2)
求める式は である。固定した に対して の係数は正なので，最大値は 上で，最小値は 上で調べればよい。
最大については を で考える。この2次関数は下に凸であるから最大は端点で起こり， より で最大となる。よって最大値は である。
最小についてはを考える。 のときは が範囲内にあるので最小値は である。 のときは範囲内で が最小を与えるので，最小値は である。
以上より，最大値は ，最小値は
である。