問題
を半径 の円盤， を 平面の原点を中心とする半径 の円周とする。 が次の条件 (a)，(b) を共に満たしながら 空間内を動くとき， が通過する部分の体積を求めよ。
(a) の中心は 上にある。
(b) が乗っている平面は常にベクトル と直交する。
出典：東京工業大学 2005年度 前期 理系 第3問
方針
条件 (b) から，円盤は 軸に垂直な平面，すなわち 一定の平面内にある。高さ を固定すると，中心は の2点になり，断面は 平面内の半径1の2円板の和集合になる。その断面積を，2つの円板の重なりを扇形と三角形で求め，最後に とおいて積分する。
解答
円盤の中心を と表す。条件 (b) より，このとき円盤は平面 上にある。
高さ を固定する。 では，中心の 座標は である。 とおくと，この高さでの断面は 平面内の，中心 ，，半径 の2つの円板の和集合である。
として ， とおく。2円の交点は であり，重なり部分は2つの合同な円弧部分からなる。一方の円で，弦が中心に対して張る角は であるから，その円弧部分の面積は扇形の面積から三角形の面積を引いて である。したがって重なり部分の面積は ，断面積 は
である。
断面積は の符号によらないので，求める体積 は
である。ここで
だから
である。