東京工業大学 2005年度理系数学第2問解答・解説

問題

$1$ から $6$ までの目がそれぞれ $\frac{1}{6}$ の確率で出るサイコロを振り，1回目に出る目を $α$ ，2回目に出る目を $β$ とする。2次式 $(x - α) (x - β) = x^{2} + s x + t$ を $f (x)$ とおき， $f (x)^{2} = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ とする。

(1) $s$ および $t$ の期待値を求めよ。

(2) $a$ ， $b$ ， $c$ および $d$ の期待値を求めよ。

出典：東京工業大学 2005年度前期理系第2問

方針

$α, β$ は独立で同じ分布をもつので，まず $E (α)$ と $E (α^{2})$ を求める。 $s = - (α + β)$ ， $t = α β$ であり，さらに $f (x)^{2}$ の係数比較から $a = 2 s$ ， $b = s^{2} + 2 t$ ， $c = 2 s t$ ， $d = t^{2}$ と表す。あとは独立性により積の期待値を積の形に分解して計算する。

解答

(1)

$α, β$ は独立で同じ分布をもち， $E (α) = E (β) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{7}{2}$ である。また $s = - (α + β)$ ， $t = α β$ だから

E (s) = - 7, E (t) = E (α) E (β) = \frac{49}{4}

である。

(2)

係数を比較すると $a = 2 s$ ， $b = s^{2} + 2 t$ ， $c = 2 s t$ ， $d = t^{2}$ である。さらに $E (α^{2}) = E (β^{2}) = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 4 ^{2} + 5 ^{2} + 6 ^{2}}{6} = \frac{91}{6}$ である。

したがって $E (a) = 2 E (s) = - 14$ である。また

E (s^{2}) = E {(α + β)^{2}} = 2 E (α^{2}) + 2 E (α) E (β) = \frac{329}{6}

より

E (b) = E (s^{2}) + 2 E (t) = \frac{329}{6} + \frac{49}{2} = \frac{238}{3}

である。

次に $s t = - (α + β) α β = - (α^{2} β + α β^{2})$ だから

E (c) = 2 E (s t) = - 2 {E (α^{2}) E (β) + E (α) E (β^{2})} = - \frac{637}{3}

である。最後に

E (d) = E (α^{2} β^{2}) = E (α^{2}) E (β^{2}) = \frac{8281}{36}

である。

東京工業大学 2005年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京工業大学 2005年度
理系数学第2問